ИНВЕРСИЯ

- преобразование, переводящее каждую точку Аплоскости в такую точку А', лежащую на луче ОА, что ОА'-ОА =k, где k- некоторое постоянное действительное число. Точка Оназ. центром, или полюсом И., k- степенью, или коэффициентом И. Если k=а ², то точки окружности Sс центром Ои радиусом апереходят при И. сами в себя; внешние по отношению к Sточки переходят во внутренние, а внутренние - во внешние (иногда И. наз. симметрией относитель но окружности). Центр И. не имеет образа. И., с отрицательной степенью кравносильна И. с тем центром Ои положительной степенью |k|, сопровождаемой симметрией относительно точки О. Иногда И. с положительной степенью наз. гиперболической И., ас отрицательной степенью - эллиптической И., или антиинверсией. Прямая, проходящая через центр И., переходит при И. сама в себя. Прямая, не проходящая через центр И., переходит в окружность, проходящую через центр И. Окружность, проходящая через центр И., переходит в прямую, не проходящую через центр И. Окружность, не проходящая через центр И., переходит в окружность, не проходящую через центр И. В декартовых прямоугольных координатах И. может быть задана формулами:

или в плоскости комплексного переменного: z=k/z. И. является антиконформным преобразованием, т. е. сохраняет углы между линиями и меняет ориентацию. Аналогично определяется И. в пространстве.

Иногда И. определяется как отображение плоскости, сопоставляющее каждой точке А, отличной от центра заданной связки окружностей, точку А' пересечения окружностей связки, проходящих через точку А.

Лит.:[1] Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963; L2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969.

А. Б. Иванов,