* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

496 ОКРУЖНОСТИ считать, что рассматриваемое преобразование переводит прямую а саму в себя). Это преобразование мы будем называть осевой инвер­ сией, отвечающей рассматриваемой сети'). При этом осевую инвер­ сию, отвечающую сети равных окружностей, мы будем называть осо­ бой инверсией; осевую инверсию, отвечающую сети окружностей, касающихся одной прямой, — вырожденной; во всех же остальных случаях мы будем иметь обыкновенную или общую осевую инверсию, причем ось о сети называется осью инверсии, а степень k сети — степенью инверсии. 9.2. Вырожденная инверсия и особая инверсия. Очевидно, что вырожденная инверсия переводит каждую прямую плоскости, не параллельную оси о сети, в одну и ту же прямую о,—это преобра­ зование не представляет интереса, и мы в дальнейшем исключим его из рассмотрения. Более интересна особая осевая инверсия. Пред­ положим для начала, что исходная сеть состоит из всех окружностей радиуса нуль, т. е. из всех точек. Совокупность всех «окружностей нулевого радиуса», «касающихся» прямой а (т. е. совокупность всех точек прямой а), представляет собой ряд (равных) окружностей с общими касательными а к а\ где прямая а' отличается от пря­ мой а только своим направлением. Таким образом, мы видим, что особая инверсия, отвечающая сети «нулевых» окружностей (точек) лишь изменяет направление каждой прямой плоскости; такое пре­ образование в множестве направленных прямых естественно называть переориентацией (т. е. «переменой направлений»). Очевидно, что переориентация переводит каждую окружность 5 в окружность отличающуюся от 5 только направлением (в том смысле, что прямые, касающиеся окружности 5, переходят в прямые, касающиеся окруж­ ности S'); в частности, точки («окружности нулевого радиуса») переориентация переводит в себя. Пусть теперь исходная сеть окружностей состоит из всех окруж­ ностей радиуса г. Очевидно, что все такие окружности, касающиеся определенной прямой а, касаются также прямой а ' , противопараллельной а и удаленной от а на расстояние 2г (величина 2г может быть и отрицательной—в соответствии со сказанным на стр. 482 это означает, что прямая а расположена справа от а; на рис. 35 величина 2г положительна). Таким образом, в этом случае особая инверсия сдвигает каждую прямую на расстояние 2г от его перво9 ') Этот термин можно понимать в двояком смысле. Можно считать, что слово «осевая» подразумевает, что рассматриваемое преобразование задается не точкой О—«центром» инверсии, как точечная инверсия (кото­ рую в таком случае лучше было бы назвать «центральной инверсией»), а направленной прямой о—«осью» преобразования. Можно же рассм тривать слово «осевая» как указание на го, что наше преобразование перево­ дит не точки плоскости снова в точки, а направленные прямые («оси») в направленные прямые («оси»), т, е. является осевым преобразованием плоскости (см. ниже, стр. 504).