* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

70 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИИ являются его биссектрисами). Отсюда же следует, чго если соединить вершины произвольного треугольника ЛВС с точками, делящими про­ тивоположные стороны в отношении 2:1 (рис. 30), то точка пересечения медиан образованного проведенными прямыми треугольника совпадает с точкой пересечения медиан исходного треугольника (ибо совпадают точки пересечения, медиан — центры—изображенных на рис. 27, а правильных треугольников Т и т); доказательство этого, не исполь­ зующее соображений симметрии и свойств сжатия к прямой, достаточно сложно. Аналогичное применение допу­ скает и инверсия (см. выше, пример 9, стр. 56). Так, например, можно показать, что каждые две непересе­ кающиеся окружности можно неко­ торой инверсией перевести в две Рис. 30. р а в н ы е окружности. Рассмотрим теперь изображенные ни рис. 31, а четыре окружности S„ S , S и S , где Si касается S S —S , S,—S и S —снова S,; точки касания окруж­ ностей обозначим через Л, В, С и D. Переведем инверсией две «про­ тивоположные» окружности 5, и S, в равные окружности S и 5 ; при этом рис. 31, а перейдет в симметричный рис. 31, б (осью симметрии ко­ торого является линия центров р окружностей S и s[). Ясно, что пря¬ мая 0 O будет являться осью симметрии и образованного точками касания преобразованных окружностей четырехугольника A'B'CD', откуда следует, что этот четырехугольник является равнобочной трапецией. Таким образом, мы убеждаемся, что точки Л', В\ С и СУ принадлежат одной окружности ). А так как инверсия переводит окружность в окружность, то и точки Л, В, С и D принадлежат одной окружгостиХ Наличие на плоскости «особой» точки О (центра инверсии), переводимой инверсией в «бесконечно удаленную» (с точки зрения элементарной гео­ метрии — несуществующую!) точку, открывает новые возможности примене­ ния этого преобразования в элементарной геометрии. Выше мы говорили о пользе, которую можно извлечь из того, что чертеж геометрической теоремы часто можно при помощи, скажем, сжатия к прямой перевести в «более симметричный» чертеж (ср. стр. 69). Но инверсия значительно больше изменяет чертежи, чем сжатие к прямой, что делает это преобра­ зование еще более ценным для приложений. В качестве примера рассмотрим снова теорему: несли окр жность S, касается 5 , S касается S S касается S. и 5 касается S (рис. 31,в), то четыре точки касания принадлежат одной окружности (или прямой)». Выше мы доказывали эту теорему, преобразовав ее чертеж в более сим2 8 4 if t a A 4 l 3 2 S 4 1 2 2 it 3 4 t ') Или прямой (см. рис. 31, о). Вообще в вопросах, связанных с ис­ пользованием инверсии, мы вынуждены считать окружности и прямые равноправными (ибо окружность инверсия может перевести в прямую); поэтому в таких случаях слово «окружность» обычно означает «окружность или прямая».