* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ТОЧЕЧНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ОКРУЖНОСТЕЙ 477 ваниям подобия — единственным преобразованиям плоскости, при ко­ торых любая прямая снова переходит в прямую и каждая окружность переходит в о к р у ж н о с т ь ) , — и действительно эти преобразования суть единственные, систематически рассматриваемые в курсе элемен­ тарной геометрии. Сказанное выше не противоречит тому, что инверсия также пере­ водит окружности и прямые снова в окружности и прямые: действи­ тельно, инверсия не является преобразованием всей плоскости, поскольку она не переводит центр инверсии О ни в какую другую точку плоскости. С другой стороны, именно то обстоятельство, что совокупность окружностей и прямых переводится инверсией в сово­ купность тех ж е линий, делает весьма желательным включение этого преобразования в число тех, с которыми оперирует элементар­ ная геометрия. Однако для этого прежде всего желательно получить возможность говорить об инверсии как о преобразовании всей плос­ кости, а не плоскости с одной выключенной точкой: ведь иначе нам придется считать, что инверсия переводит прямую в окружность б е з одной точки (ибо центр инверсии мы должны вообще исключить из рассмотрения), а если нам надо будет произвести подряд д в е или несколько инверсий, то положение осложнится е щ е больше. Выход из создавшегося положения состоит в следующем. Усло­ вимся говорить, что при инверсии центр О переходит в некоторую фиктивную «бесконечно удаленную точку» Q плоскости; обратно, эта «бесконечно удаленная точка» Q переходит в центр инверсии О (ср. стр. 57). Хотя эта терминология означает только, что инверсия не переводит О ни в какую реально существующую точку плоскости, она во многих случаях оказывается чрезвычайно удобной. Так как прямые при инверсии переходят в окружности, проходящие через центр инверсии О, то приходится считать, что все прямые плоскости проходят через «бесконечно удаленную точку»; это соглашение устраняет различие между прямыми и окружностями, так как прямую теперь также можно считать замкнутой—она «замыкается в беско­ нечности» ) . Плоскость, условно дополненная, таким образом, одной «бесконечно удаленной точкой», называется круговой плоскостью. Понятие круговой плоскости является математической абстракцией в такой ж е степени, как и понятие обычной (безграничной) плоскости; в современной математике (в частности, в теории функций комплекс­ ного переменного) оно играет весьма важную роль. 1 £ окружностью, не пересекающей ни s, ни s,), а касающиеся окружности (или окружность и прямая) S и S, делят плоскость только на 3 части. *) См. «Г. П.», стр. 62—63. По поводу последующего ср. также сГ. П.», стр. 57—59. ) Это утверждение означает, что точка Л, неограниченно удаляющаяся по прямой в любом ее направлении, стремится к «бесконечно удаленной точке» Q (в том смысле, что точка Л', в которую переводит Л инверсия с центром О, стремится к точке О). г