ВЕЙЕРШТРАССА

-ФУНКЦИЯ в классическом вариационном исчислении- функция, выделяющая главную часть приращения функционала при варьировании экстремали при помощи локальной (игольчатой) вариации с заданным значением ее производной в фиксированной точке экстремали. Для функционала

-функция имеет вид

Если ввести функцию

(см. Лежандра преобразование, Понтрягина принцип максимума), то -функция принимает вид

где Общая конструкция, приводящая к функциям, аналогичным -функции (1), состоит в следующем. Пусть - дифференцируемая или выпуклая функция, заданная в банаховом пространстве - сопряженное пространство. Если функция определяется равенством

где - производная функции в точке (или элемент субдифференциала, если выпукла), то функция

есть -функция, построенная по . В случае, если дифференцируема,

т. е. -функция есть разность в точке между функцией f и линейной функцией, касательной к в . Сравнение формул (1) и (2) показывает, что -функция в классич. вариационном исчислении получается из конструкции (2) относительно переменных, связанных с производными, а переменные играют роль параметров. Для случая функционала

многомерной вариационной задачи -функция имеет вид

Для Лагранжа задачи с ограничениями и множителями Лагранжа -функция имеет вид (1), где заменяется на

-функция была впервые введена К. Вейерштрассом в 1879 (см. [1]) и лежит в основе теории-вариационного исчисления. В терминах -функции формулируются необходимое и (отдельно) достаточное условия экстремума (см. "Вейерштрасса условия"), через -функции выражается в виде конечного интеграла приращение функционала на экстремали (см. "Вейерштрасса формула" для приращения функционала).

Особенно важную роль в вариационном исчислении играют гладкие функционалы, у к-рых в нек-рой области параметров для всех или, сильнее, если для всех . . Они наз. к в а-з и регулярными (соответственно регулярными, или эллиптическими). Для них всегда выполнены "Лежандра условие" и необходимое Вейерштрасса условие, а также справедливы теоремы существования и регулярности [7].

Лит.:[1] Weierstrass К., Vorlesungen uber Varia-tionsrechnung (Math. Werke, Bd 7), Lpz., 1927; [2] Caratheodory C., Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordiumg, B.-Lpz., 1935; [3] Воlza O., Vorlesungen uber Variationsrechnung, Lpz., 1949; [4] Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчислению, М., 1955; [5] Понтрягин Л. С. [и др.], Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969; [6] Hestenes M. R., Calculus of variations and optimal control theory, N. Y,-L., 1966; [7] Проблемы Гильберта, М", 1969; 18] Блисс Г., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950. В. М. Тихомиров.