КОМПАКТНОСТЬ

- свойство топологич. пространства, состоящее в том, что каждое бесконечное его подмножество имеет предельную точку. Для метрич. пространства понятие К. совпадает с понятием бикомпактности. Свойство К. может быть выражено в такой форме: всякое счетное подмножество имеет предельную точку, так что компактные пространства естественно называть компактными для мощности

В связи с этим возникают понятия инициальной и финальной К. или, более общо, компактности в отрезке мощностей [ а, b], или [ а, b]. компактности, выражаемой в трех эквивалентных формах: 1) всякое множество мощности имеет точку полного накопления, т. е. такую точку x, что для каждой ее окрестности O_x. множество O_x З М имеет ту же мощность, что и М;2) всякая вполне упорядоченная система порядкового типа замкнутых множеств имеет непустое пересечение; 3) всякое открытое покрытие мощности содержит покрытие мощности то Xназ. инициально компактным вплоть до мощности b. Просто К. означает инициальную К. до мощности и поэтому иногда К. наз. счетной К. Если b>а- любое, то Xназ. финально компактным, начиная с мощности а;так, всякое пространство со счетной базой финально компактно с Бикомпактные пространства инициально компактны до любой (бесконечной) мощности и одновременно финально компактны, начиная с любой мощности,- отсюда их название. Таким образом, всякое бикомпактное пространство компактно, но не наоборот: пространство W(w₁) всех порядковых чисел 1 компактно, но не бикомпактно. Из К. пространства X, вообще говоря, не следует, что Xявляется компактным множеством, напр, в пространстве (неметризуемом) I ^с существует замкнутое (и следовательно бикомпактное) множество, не содержащее никакой нестационарной сходящейся последовательности.

М. И Войцеховский