КОЛЬЦО

- множество R, в к-ром заданы две бинарные алгебраич. операции: сложение и умножение, причем по сложению это множество - абелева группа (аддитивная группа кольца R), а умножение связано со сложением законами дистрибутивности:

a(b+с) = аb+ас, (b+с) а=bа+са,

где На умножение в общем случае не накладывается никаких ограничений, т. е. Rпо умножению - "группоид" (наз. мультипликативным группоидом кольца R).

Непустое подмножество наз. подкольцом в R, если Асамо является кольцом относительно операций, определенных в R, т. е. Адолжно быть подгруппой аддитивной группы кольца Rи подгруппоидом мультипликативного группоида этого кольца. Естественно, подкольцами всякого кольца служат само это кольцо и нульподкольцо, состоящее из одного нуля. Пересечение (теоретико-множественное) подколец любого кольца есть подкольцо. Объединением подколец кольца Rназ. пересечение всех подколец, каждое из к-рых содержит все Множество всех подколец данного кольца является решеткой S(R)относительно операций пересечения и объединения подколец. Множество идеалов этого кольца образуют подрешетку в S(R).

О направлениях в теории колец см. Кольца и алгебры, Ассоциативные кольца и алгебры, Неассоциативные кольца и алгебры.

Р. А. Иванова.