БИФУРКАЦИЯ

- термин, употребляемый в нек-рых разделах математики применительно к ситуации, когда нек-рый объект зависит от параметра (не обязательно скалярного) и в любой окрестности нек-рого значения последнего (бифуркационное значение, или точка Б.) исследуемые качественные свойства объекта не являются одинаковыми для всех . Соответствующие точные определения различны в различных случаях, но в общем они следуют (с теми или иными модификациями) двум вариантам:

а) Изучаемые качественные свойства объекта состоят в существовании других объектов О, определенным образом связанных с ним. Б. состоит в том, что при изменении объекты Овозникают или исчезают (в частности, они могут сливаться друг с другом, или из одного объекта может "рождаться" несколько). См. ниже - п. 1).

б) Сначала для объектов определяется, когда два таких объекта считаются эквивалентными. (Определение должно быть таким, чтобы у эквивалентных объектов все интересующие нас качественные свойства были одинаковыми.) Изменение качественных свойств в окрестности точки Б. , по определению, понимается в том смысле, что там имеются значения с неэквивалентными . См. ниже - п. 2).

1) В теории операторов исходный объект - это нелинейный оператор в действительном банаховом пространстве, с действительным параметром , определенный в окрестности точки и такой, что . Ему при каждом фиксированном сопоставляются другие объекты О - решения хнелинейного операторного уравнения . Точка В.- это точка, в к-рои происходит рождение нового, нетривиального решения этого уравнения. Именно, это такая точка , что для любого существует при к-ром уравнение имеет решение , удовлетворяющее условиям Если , где A - линейный "вполне непрерывный оператор", то понятие точки Б. совпадает с понятием характери-стич. значения оператора А.

Если - нелинейный вполне непрерывней оператор, непрерывно дифференцируемый в смысле Фреше и такой, что , то точками Б. оператора Ф могут служить лишь характеристич. значения оператора А. Топологич. методом (см. [1], [2]) установлено, что каждое нечетнократное (в частности, простое) характеристич. значение оператора Аявляется точкой Б. оператора Ф. Аналогичное достаточное условие для случая четнократных характеристических значений формулируется с помощью понятия вращения векторного поля.

Если - неизолированное решение уравнения есть точка Б. оператора Ф. Вариационным методом доказано (см. [1], [2]), что если - нелинейный вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве, являющийся градиентом слабо непрерывного функционала, а - вполне непрерывный самосопряженный оператор, то каждое характеристич. значение оператора Аявляется точкой Б. оператора Ф. Понятие точки Б. видоизменяется также на случай больших решений при Важное значение этих понятий и результатов состоит в том, что при сравнительно слабых ограничениях удается установить ветвление решения в частности доказать неединственность решения нелинейной задачи. В ряде случаев более точную информацию дают аналитич. методы теории ветвления решений нелинейных уравнений (см. [5]).

2) В теории гладких динамич. систем рассматриваются однопараметрические (и отчасти двупараметрические [6]) семейства потоков (и каскадов; здесь рассматриваются лишь первые), причем выясняется, когда Б. "типичная", т. е. сохраняет свой характер при малом изменении рассматриваемого семейства [9]; употребительны оба варианта а) и б). При втором два потока считаются эквивалентными, если существует гомеоморфизм фазового пространства, переводящий траектории одного из них в траектории другого с сохранением направления движения. Имеется вполне удовлетворительная теория Б. однопараметрич. семейств потоков с двумерным фазовым многообразием [7], [9], а также локальный вариант, относящийся к окрестности положения равновесия или периодич. решения в гс-мерном случае [6].

В варианте а) изучаемые объекты О, к-рые сопоставляются данной дннамич. системе,- это положения равновесия и периодич. решения, а иногда также нек-рые инвариантные многообразия (преимущественно торы) и гиперболич. инвариантные множества. Рассматривается "рождение" этих объектов, происходящее как "локально", возле нек-рого положения равновесия или периодич. решения, так и "полулокально", в окрестности "замкнутого контура", образованного несколькими траекториями, к-рые при стремятся к положению равновесия или к периодич. решениям. Возможен случай В., к-рая в определенном Смысле связана с подобным контуром, но к-рая происходит (с изменением параметра ) еще до его возникновения [8]. Часто рождение периодич. решений бывает удобно рассматривать, переписывая дифференциальное уравнение и условие периодичности в виде интегрального уравнения и применяя к нему соответствующие методы [5].

3) В теории особенностей отображений встречаются разнообразные Б. различных объектов (как исходных, так и сопоставленных им), в связи с чем имеются различные случаи использования этого термина (вернее, производных от него) (см. [10], [6], [11]), но еще чаще соответствующие понятия получают самостоятельные названия. Таковы, напр., версальные семейства (или деформации) (см. [6], [И], [12]), к-рые (в нек-ром смысле) описывают все возможные Б., могущие произойти при малой деформации рассматриваемого объекта, в частности сюда относятся семь элементарных катастроф [12], к-рые представляют собой "типичные" k-параметрические () семейства функций, включающие функцию с вырожденной критической точкой и определенные в окрестности последней; тем самым они описывают соответствующую Б. (Вообще, в иностранной литературе по теории особенностей вместо Б. часто говорят о "катастрофах".)

Лит.:[1] Красносельский М. А., Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений, М., 1956; [2] Функциональный анализ, М., 1964; [3] Красносельский М. А., Положительные решения операторных уравнений, М., 1962; [4] Вайнберг М. М., Вариационные методы исследования нелинейных операторов, М., 1956; [5] Вайнберг М. М., Треногий В. А., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М., 1969; [6] Арнольд В. И., "Успехи матем. наук*", 1972, т. 27, в. 5, 119-84; [7] Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г., Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, М., 1967; [8] Гаврилов Н. К., Шильников Л. П., "Матем. сб.", 1972, т. 88, №4, 475-92; 1973, т. 90, №1,139-56; [9] Реiхоtо М. М., в кн.: Proceedings of the International Congress of Mathematics, Vancouver, 1974, v. 2, p. 315-19; [10] Том P.. "Успехи матам, наук". 1972., т,. 27. в 5, 51-7; [11] Арнольд В. И., "Успехи матем. наук", 1975, т. 30, в. 5, 3-65; [12] Brocker P., Lander L., Differentiable germs and catastrophes, Cambrige, 1975.

Д. В. Аносов, В. А. Треногий.