* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
76
его. согласно предыдущимъ опредт>лешнмъ, попарно параллельны. Что въ других ь треугольникахъ въ этой геометрш сумма угловъ всегда меньше 2, этого нельзя доказать безъ довольно сложных!) тригонометрическихь вы числении Возможность треугольниковъ известна съ нулевыми углами была уже творцамъ неевклидовой геомегрш;
противники же ихъ оспаривали это, какъ n*fcчто, с о в е р ш е н н о противоречащее очевидносги. Если, однако, мы представимъ с е б е , какъ было у к а з а н о выше, ортогональную с ф е р у настолько большой, что въ ней заключены в с е планеты, то въ наших ь псевдоплоскостнхъ въ областяхъ, доступныхъ нашему с о з е р ц а ж ю , не мо гутъ быть расположены отрезки, принадлежа щее всЬмъ тремъ сторонамъ такого треуголь
Фиг 31
ника; ИИКаКОГО бы не имели Отсутств1е нагляднаго
ПрОТИВОрЬЧ1Я
СЪ
ОПЫТОМЪ мы
воплошешя неевклидовой геометрш недоста высшей эллипти
служило болынимъ препнтегаемъ для ея уяснешн. Реализащя элементарной геометрш на поверхностяхъ постоянной отрицательной кривизны точно элементарна и не можетъ быть доказана Риманъ безъ помощи что математики. указалъ,
ческая reoMeTpifl плоскости осуществляется на с ф е р е , если две ея полярныя точки принимать за одну „точку" О д н а к о , авторы не указы вали достаточно определенно, что при этомъ осуществлена эллиптической геометрш подъ „ т о ч к о й " необходимо разуметь совокупность двух!) различных!) обыкновенных!) точекъ; это привело къ целому ряду недоразумений, сводившихся,
Ф и г . 32.
главнымъ
о б р а з о м ъ , къ тому, Правильно Рима-
что геометрпо ственной съ
Римана не признавали тожде на сфере, мы безъ
геометрией сферы
понимая это осуществлеше эллиптической „плоскости" труда узнаемт въ ней нашу псевдоплоскость
эллиптической с е т и :
нова сфера есть диаметральная с ф е р а с е т и : две полярныя ея точки взаимно обратим и потому действительно о б р а з у ю т ъ одну псевдо-точку. Поэтому не было, собственно, также принять постоянную точку О две необходимости присваивать такую каждой хорды, внутри сферы. исключительную роль двумъ конечнымъ точкамъ д1амегра. З а псевдоточку можно было бы конечный точки расположенную проходящей черезъ Если мы возьмемъ плоскость*). точку,
внЬ с ф е р ы , то мы получимь гиперболическую
*) Этотъ именно пуп, привелъ автора пять летъ тому назадъ къ осуществле ние неевклидовой геометрш въ сферической сети (Вступительная лекпе&я въ летнемъ