* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

823 Мнимыя ЧИСЛА 824 самымъ вынуждаемся р а с ш и р и т ь пошгпеочисле за пределы области, которая была до сихъ поръ известна. Логически возможны п та, и другая по­ становки вопроса, но, конечно, оне не представляются равноценными, если принять въ разсчетъ п друпя обстоятельства дела. Прежде всего, практическая по­ требности обычной жизни весьма определенно и настойчиво указывают* на возможность и полезность расширения понятая о числе. Совершенно ясно, что, напр., результата дёлешя 11 на 3, нелепый для знающаго только целыя числа, пршбретаетъ совершенно опродёлепный и ясный смыслъ, какъ только число 11 является, напр., изобраэителемъ некоторой длины. Результата вычитантя 7 пзъ 2, нелепый для энающаго только положительный (или абсолютный) числа, пр10бретаетъ совершенно реальный смыслъ, когда дёло' идетъ о величинахъ, пмеющихъ направлеше (прибыль и убытокъ, градусы тепла и холода и т. д.). Къ тому же самому приводить н теоретическая соображешя, ибо нетъ никакихъ основашй для того, чтобы пошгпе о числе (какъ ответь на вопросъ: сколько?) исчерпывалось непременно одними це­ лыми или одними положительными числами и не до­ пуска™ дальнейшаго расширешя. Все сказанное даетъ и правильную точку эръшя на природу и М. чиселъ. Несомненно, во всей области не только ращоналыгыхъ, но и иррапдональныхъ чиселъ (такъ назыв. вещественныхъ чиселъ) нетъ ни одного числа, котораго квадрата былъ бы отрицательным*. Сле­ довательно, вь этой области ръшеше, напр., уравнешя x =z—3 является невозможнымъ, а символъ 2 числа, и въ настоящее время доказано, что это есть самый общШ видъ чиселъ, длл которыхъ сохра­ няются основные законы наших* дейстшй (напр., неизменяемость произведешя при перестановке мно­ жителей). Число а называется вещественною, а Ы—мнимою частью комплекснаго числа (числа вида Ъг называются также чисто-мнимыми.числами). Знак* + въ символе а-\-Ы указывает* собою, конечно, не обыкновенное сложсше, а то обстоятельство, что числа а п Ы нужно раэсматрпвать вместе, как* со­ ставные части одного целаго—комплекснаго числа. Гауссъ установилъ весьма важное геометрическое толкован ie комплексныхъ чиселъ, именно всякому такому числу а-\-Ы онъ сопоставляетъ ту точку плоскости, которой прямоугольный координаты суть а и Ъ, и считает* эту точку геометрическимъ изображешемъ комплекснаго числа. Раэстояше р отъ точки М до начала координата есть такъ назыв. модуль комплекснаго числа, обозначаемый нередко такимъ же символомъ [а-\-Ы], какимъ обозначается абсолютная величина числа (ибо для вещественныхъ чиселъ модуль и совпадает* съ абсолютною вели­ чиною). Мынмеемъ: p = [a + W ] = + + j / — 3 не имеющимъ смысла. Но отсюда еще вовсе не следуетъ, чтобы этотъ символъ вообще не имълъ никакого смысла, чтобы нельзя было построить та­ кую систему чиселъ, для которыхъ возможно было бы установить совершенно определенные законы действШ, и прп этомъ получалось бы, напр., что квад­ раты некоторыхъ такихъ чиселъ оказывались бы отрицательными. Наоборотъ, потребность въ про­ стоте и общности выводовъ настоятельно требовала такого расширешя понятая о числе. Математики такъ и сделали. Конечно, - такой процессъ развитая идеи о М. числе совершился не скоро. Впервые М. числа упоминаются итальянскимъ математикомъ Карданомъ въ его