* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

825 ; Мнимыя ЧИСЛА 826 х н 2/ а стало-быть, п определенный значешя и a v. Оказывается, однако, что при такой широкой по­ становке дела выражеше n-f-w, вообще говоря, н е будетъ иметь определенной производной по отно­ шенш къ г. Именно, прндадимъ некоторый прира­ щен ia Дя и Ду величинамъ х и у. Соответственное приращеше г будетъ ДгтДж + гДу. Пусть прира­ щения величинъ и и v будутъ Дм и Дя. Вообще гоДн 4- ikv воря п окажется, что отношеше — — не бу­ детъ иметь опредъленнаго предела при Д,г=0, а этотъ пределъ будетъ разнымъ, смотря по тому, по какому закону Дя и Ду пойдутъ къ нулю. Для того же, чтобы отношеше ^ ~ ^ ^ и V имело определенный пределъ, не зависяпгдй отъ закона убывашя Дж и Ду, необходимы некоторый добавочный условш, именно ди dv ди dv дх ду ду дх ' ^' Выражешя вида u-\-iv которыя удовлетворяюсь *тимъ услов1лмъ (1), и были названы Коши моно­ генной (однопроизводной) функщей отъ z. Теперь принято называть ихъ просто функциями и обозна­ чать соответственнымъ символомъ F(z). Между про­ ( * 1 - * ) f (*«.) + ( * - * ! ) / 4 * l ) + . . ft*,.). чимъ, иэъ уравнений (1) видно, что unv будутъ рё- г д е z есть начальная, Z—конечная точка контура шешлмп уравнешя съ частными производными А z z ... z — промежуточный точки того же д*Ц . д*Ц_ коптура. Предёлъ берется въ предположен! и, что дх* ду — > модулп всехъ разностей # i — z . — z . . . Z — s ^ которое, въ свою очередь, представляетъ собою част­ стремятся къ нулю и, следовательно, число п къ бозный случай знаменитаго уравнения Лапласа конечности. Этотъ пнтегралъ обозначается спмвоd*U . d*U • a».Z7 _ №**. Линия L называется путемъ пли ломъ f дх* ду* " " dz* ~~ ' встречающагося во многихъ вопросахъ математиче­ контуромъ интегрирования. Вместо чиселъ f(z ) ской физики. Этимъ объясняется большая роль тео­ / ( ^ j ) . . . можно брать также значешя функцш\/(я) рш функидй мнимаго переменнаго въ этихъ вопро­ для любыхъ точекъ, лежащихъ между z п z z и z. сахъ. Пусть n-\-iv будетъ некоторая функщя F(z) отъ комплексной переменной z=x + iy. Будемъ и т. д. соответственно. Изучая эти интегралы, Коши графически изображать г какъ точку М некоторой установилъ целый рядъ ихъ важнейшихъ свойствъ. плоскости Р съ координатами х н у, a F(z)—какъ Прпводимъ некоторый изъ нихъ: 1) Интегралъ, взя­ точку N некоторой другой плоскости Р ' съ коорди­ тый по сомкнутому контуру (z = Z), всегда равенъ натами и и v. Тогда каждой точке М будетъ соот­ нулю, если подъинтегральная функщя непрерывна ветствовать одна пли несколько точекъ N п каждой и однозначна внутри этого контура. 2) Следите. фигуре на плоскости Р—одна или несколько опре- Интегралъ съ теми же пределами не изменяется дйленныхъ фигуръ на плоскости Р'. Такимъ обра­ прп изменении пути интегрирования до техъ поръ, зомъ, каждая функщя отъ комплексной переменной пока этотъ путь не пройдетЪ чрезъ-точку, г д е функ­ даетъ некоторое преобразований любой плоской фи­ щя перестает* быть непрерывной или однозначной. гуры въ некоторую другую. Это преобразований на­ 3) Если внутри сомкнутаго контура L функщя f(z) зывается конформнымъ. Назваше это произошло остается однозначной и непрерывной, кроме одной оттого, что при этомъ преобразовали, какъ можно точки а, при чемъ пределъ (z — а) f(z) существуете в =а доказать, сохраняется подобий въ безконечно малыхъ частяхъ обеихъ фигуръ. Разсмотреше комплексныхъ п равенъ некоторому числу р то переменныхъ чрезвычайно полезно въ Teopin алгеf(z)dzz=.2rJp. браическихъ функщй и ннтеграловъ отъ нихъ. Оно' объяснлетъ тамъ цёлый рядъ фактовъ, остававшихся безъ пего темными. Такъ, напр., оно показывает*, 4) Следств1е. Если f(z) есть функщя однозначнан п что различный значения, которыя можеть припимать непрерывная внутри некотораго сомкнутаго iconалгебраическая функщя, неотделимы другъ отъ друга тура L , то ui составляютъ части одного неразрывнаго пёлаго, непрерывно переходя другъ въ друга прп нопреf(x)= J * d z (интегралъ Коши). рывномъ изменении аргумента. Разсмотримъ, напр., простейшую функцию W= " j / ^ . Для каждаго г она Эта поразительная формула указываете, что при сделанных* условияхъ .функция в н у т р и контура имеетъ два эначешя + " [ / z и — "|/ г. Возьмемъ вполне определяется своими значениями на этомъ какое-нибудь значеше z напр., z (вещественное контуре (ибо они одни нужны длл составлешя или мнимое) и определенное значеше функщи, интеграла, который стоить въ правой части).—См. J o r d a n , «Cours d'Analyse* (т. I); Е. P i c a r d , напр., + "|/г . Будемъ затемъ непрерывно изме­ «Traite* d'Analyse* (т. I—II); Ed. Goursat, «Cours нять z такъ, чтобы точка, изображающая #, описала d* Analyse*; С. Савичъ, «Лекпди no Teopin функ­ Б. Еоялооичъ. сомкнутый контуръ и вернулась въ исходное поло­ щй комплекснаго переменнаго». 9 t t 0 жеше. Тогда, если точка £ = 0 не находится внутри этого контура, то и функция вернется къ своему прежнему значению + | / г . Если же этотъ контуръ охватываете точку # = 0, то при возвращении z къ прежнему значенш z функщя получить уже зна­ чеше — ] / ^ , и такимъ образомъ обе ветви двузнач­ ной функщи ] / z (-t- y/~z п — 7 непрерывно переходить одна въ другую. Разрабатывая эту идею, Рпманнь п пришелъ къ мысли заставлять независи­ мое переменное z двигаться не по плоскости, а по некоторой поверхности (Риманнова поверхность), со­ ставленной иэъ нескольких* листовъ, наложенных* другъ на друга и соединенныхъ известнымъ обра­ зомъ. Тогда, действительно, каждому положешю точки, изображающей z, будетъ соохвётствовать только одно значеше функщи, т.-е. функщя обращается въ одно­ значную. Число листовъ Риманновой поверхности н законъ ихъ соединешя между собою зависятъ оть природы разбираемой функщи. Интеграломъ оть функции f(z) комплекснаго переменнаго z взятымъ по контуру L, называется пределъ суммы такого вида 0 0 a 0 а u 2 n п + 2 V A u n п + | U 0 0 u t 2 0 у y 0 0