* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

g θ. . О П Е Р А Т О Р Ы , З А В И С Я Щ И Е ОТ I ПАРАМЕТРА 67 t и ^ V = T y η=5(ί-Ε)φ(5)Λ-5(ί-Β)Λ o о $φ ( / в * = Р ) Z (ζ) dz. о 1 откуда DF XTV* ^ η - T W - JΤ ( / ^ ) Λ ( * ) ώ . О (8.14) § 9. О П Е Р А Т О Р Ы , З А В И С Я Щ И Е ОТ П А Р А М Е Т Р А Операторы, зависящие от параметра, встречаются в приложе­ ниях операционного исчисления к задачам математической физики. Н о их изучение представляет и самостоятельный интерес. Мы рассмотрим операторы, зависящие от одного параметра, например, от х. В этом случае будем писать F(х\ D), а < я < 6 . Примером такого оператора может служить F(x; Z)) = e - * « W , который встречается в преобразовании Эфроса. Вообще говоря, область определения Ωκ(*;π> оператора F (х\ D ) зависит от X и, кроме того, абсцисса сходимости интеграла ео г e-P F{x l f f D)fdt, /CZQF (9-1) о тоже зависит от х. Мы будем рассматривать только такие операторы, для кото­ рых существуют функции, принадлежащие к области его опреде^ ления при всех α < . £ < & , и для которых интеграл (9.1) сходится в некоторой полуплоскости Re (ρ) > σ при всех а < χ < 6, σ может быть различной для разных /. Множество всех таких функ­ ций назовем существенной областью определения оператора F (х; D) и будем обозначать 2 . П р и м е ч а н и е . В данном случае областью изменения пара­ метра является сегмент [а, Ь]. Но очевидно, можно вместо сег­ мента рассматривать интервал (а, Ь) или какое-нибудь другое множество значений переменного х. Если существует I i m F (х; р) для функции F(x\ρ), то отсюда X -+ Xo еще не следует существование предела I i m F (х\ D)f. Например, 0 0 F X -*• Xo — — — η = 1 — cos — . Здесь 1 1 - t T T * P X - * О в то время как предел правой части не существует.