* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

S 3. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П Е Р А Т О Р А 33 где γ > о — абсциссы сходимости интеграла Лапласа-Карсона, представляющего функцию F(p)f(p) и γ > 0*). Из определения оператора и свойства 5° интеграла Лапласа (см. § 2) следует, что если почти всюду с F ( D ) Z = O и / = ^ 0 , то 1 F(p) = 0. Если F (р) = E (P) = I то из (3.4) и теоремы 1 (§ 2) следует, что E (D) f = f для всех / 6 S т . е . функции F ( p ) = E (ρ) отвечает единичный оператор. Найдем теперь, какой оператор отвечает функции F ( p ) = p. t Если / € 2 д , то pf(p)£S. при отображении S==S. OO Пусть g(t)—прообраз Так как O O pt элемента р](р) g(p) t = p\ g ( 0 e- dl = р* ^ g (t) e-P* dt x о (где g (t) = ^ g (и) du^ , о x x f о то g (p) = pg (p) x t откуда следует f ( p ) = g (p) следовательно, t flt)=\g(uydu. (3.5) о С другой стороны, согласно определению оператора Df = g(t). Итак, область определения оператора D совпадает с функци­ ями, представленными в виде (3.5), где g ( ; ) £ £ · При этом Df = df dt (О Таким образом оператор D там, где он определен, совпадает с оператором дифференцирования. Множество $Щ с естественным понятием сложения и умноже­ ния является полем. Действительно, если F ( P ) ^ S J i и F Qt?) 6 3JÎ, 1 2 то, согласно определению множества SDÎ, где ψ (ρ)> φ (ρ)ι §ι(ρ) χ 8 и ф ( р ) принадлежат к S, 2 *) Там, где это не может вызвать недоразумения, мы не будем каждый раз перечислять эти условия. 3 Диткин и Кузнецов