* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
34
Ч А С Т Ь I. О С Н О В Ы О П Е Р А Ц И О Н Н О Г О
ИСЧИСЛЕНИЯ
Дальше
F
1
(P) + F* (/>) = ?i _ Ti (ρ) Фа (P) + Уа (ρ) Ψι (ρ) Φι (P) Фа (P) _
(Р)
P
'
Фа ( P ) . T a W Φι ( Ρ ) P P ' P ^ Φι (P) Фа ( Р ) P P
И
Н о функции
c
"
Pi (P) P
V
Та (P) P
.
Φι (P)
_
Фа (р) P
P
представимы абсолютно сходящимися интегралами Лапласа-Карсона [см.. ( 3 . 2 ) ] . Отсюда следует, что и их произведения, делен ные на р, принадлежат к S (см. теорему 3 § 2 ) . Следовательно, сумма F (р) + F (р) равна отношению функций, принадлежа щих к S т. е. F (р) + F ( p ) £Ш* Точно так же
1 2 t 1 2
Tl (P)
Та (P)
P
P
Наконец, очевидно, вместе с F (р) к SJi принадлежит и ί /F (р). В силу самого определения оператора F ( D ) между множе ствами* g j i и 2JÏ существует взаимно однозначное соответствие. Именно; функции F ( p ) отвечает оператор F(D) и каждому опе ратору отвечает единственная функция. Это соответствие обозна чим 3JÎ ~ 3JÏ, и аналогично для элементов этих множеств
t
F (р) ^
F
(D).
x 2
Назовем суммой операторов F ( D ) и F ( D ) оператор, кото рый отвечает функции F ( p ) + F ( p ) при соответствии 9 К ~ 5 Ш , и аналогично назовем произведением операторов F ( D ) и F ( D ) оператор, отвечающий функции F (р) F (р). Сумму операторов будем обозначать F (D) + F (D), а произведение операторов обозначим F F (D) в то время как под F ( D ) F ^ ( D ) условимся понимать результат последовательного применения операторов
x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 t 1
F (D)MF (D).
2 1
_
Итак, взаимно однозначное соответствие 9JÏ ~ ЭД? обладает следующими свойствами: 1) единичной функции Е(р) = 1 отвечает единичный оператор
E (D);
2) функции F (ρ) = ρ отвечает сам оператор D; 3) сумме и произведению функций отвечают сумма и произ ведение операторов. Как известно, такое соответствие называется изоморфизмом. Уместно заметить, что при помощи отображения S J i ^ S f t можно taa множество операторов перенести не только понятие суммы
