* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

§ 3. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П Е Р А Т О Р А 31 случая. Например, оператор •^- определен на всем множестве S — его значение равно 5 - / ( 0 = $/(«)««· Gak оператор D (или оператор D η — целое положительное число), очевидно, определен только на части множества S ибо функции, для которых имеет смысл выражение D / , во всяком случае должны быть дифференцируемы достаточное число раз. Совокупность всех функций / ( * ) , для которых определен опе­ ратор F(D) называется областью определения оператора F(D). Прежде чем переходить к строгому определению F(D) укажем на те соображения, которые приводят к нему. Пусть n 9 9 n 9 9 F(P)- Σ Ic-O а *Р к есть многочлен степени п. Функции F ( p ) естественно поставить в соответствие оператор F(D)= Σ aD. k k Следовательно, F(D)f(t) = 2 а к 4*f(t) dt* 9 •л, Пусть f ( t ) принадлежит к множеству 5 . В этом случае f ( t ) может быть представлена интегралом (см. теорему 1 , § 2) T-ioo где 7 (ρ) — трансформация Лапласа-Карсона функции / ( £ ) . При­ нимая во внимание это представление, мы легко найдем (допу­ ская законность дифференцирования под знаком интеграла), что η к~ 0 γ+ίαο у—too Отсюда л следует, что а в множестве S действию оператора F (D) = 2 Jc-O к& к н а Функцию f ( t ) отвечает обычное умножение