* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

30 Ч А С Т Ь I. О С Н О В Ы О П Е Р А Ц И О Н Н О Г О И С Ч И С Л Е Н И Я отрицательных t) переходит в единицу: η(/>) = 1 . Очевидно, все теоремы и свойства интеграла Лапласа, приведенные в §§ 2 — 4 , могут быть соответствующим образом сформулированы и для преобразования (3.1). Пусть S— множество всех функций, для которых существует интеграл Лапласа, или, что то же самое, интеграл (3.1) и S — множество их трансформаций Лапласа-Карсона. Из 5° свойства (см. § 2) следует, что отображение множества SnaS взаимно однознач­ ное* Образ элемента / (t) обозначим / (р) * ) . Соответствие между SuS обозначим S==S и аналогично будем обозначать между элементами этих множеств. Как было отмечено, условие t соответствие Д ( / ) = $ / ( и ) du=O (e ) при t ->оо ai (3.2) является необходимым и достаточным для того, чтобы функция / ( f ) принадлежала множеству S. Впрочем, в большинстве случаев можно пользоваться следу* ющим достаточный условием сходимости интеграла (3.1): f ( t ) = 0 (е**) при ί - ^ оо, (3.3) при этом условии сходимость интеграла, очевидно, абсолютная. В этом параграфё будет дано определение символа F ( D ) функции от оператора ί> = ^ (оператора дифференцирования) для t ь достаточно широкого класса функций F(p). При этом для чаетн&х случаев, указанных во введении (F(P) = Jf F (р) = е~ * н др.), данное определение совпадает с естественным смыслом определения операции F(D). Наше построение исчисления функций от оператора D заклю­ чается в следующем: каждой функции F (р) из некоторого класса t Sft функций комплексного переменного ρ будет поставлен в соот­ ветствие оператор, который будем обозначать через F(D). Этот оператор может быть определен либо на всем множестве S (т. е . для каждой функции f(t) принадлежащей к S имеет смысл выражение F(D)f(t)) либо может случиться, что оператор опре­ делен только для части множества S т. е. для некоторого подмножества Q множества S. Таким образом, в последнем случае выражение F (D) f (t) имеет смысл только тогда, когда функция f ( t ) принадлежит к мно­ жеству Q. Легко привести примеры, иллюстрирующие оба эти f t f t *) В курсах операционного исчисления принято / (р) называть изобра­ жением функции / ( ¢ ) .