* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

§ 2. И Н Т Е Г Р А Л Л А П Л А С А 23 Преобразование Лапласа однозначно, с точностью до множества меры нуль, определяет функцию (см. свойство 5°), поэтому почти всюду gt (t) n = g {t) ül = g{t), я = 1, 2 , 3 , . . . Следовательно, со H[F(p)]=\g(t)e-Ptdt, СО ^ I g (О I* " β ί dt < оо при σ > σ . α В дальнейшем нам потребуются критерии, по которым можно было бы судить, является ли данная функция—аналитическая в полуплоскости Re (ρ) > γ —преобразованием Лапласа. В ряде случаев теорема 3 позволяет ответить на этот вопрос. Например, со интеграл ^ e - p ' d i = — абсолютно сходится при R e ( p ) > 0 . При* о о * меняя теорему о , заключаем, что -у= также представима в полу¬ плоскости Re (р) > О абсолютно сходящимся интегралом Лапласа. ι Отсюда следует представимость функции -^=$ГР И так далее. В частности, из этих ж е соображений следует теорема. Т е о р е м а 5. Аналитическая функция, регулярная в окрест­ ности бесконечно удаленной точки и равная в ней нулю, предста­ вима абсолютно сходящимся интегралом Лапласа. Действительно, согласно условию функция представима Iρ I > ρ сходящимся рядом OO при F(P) = I ^ k ' Образуем функцию OO φ (ζ) = Σ α Jc-= 1 * *· 2 Она будет аналитической в круге \z\ < у разом, если | / ? | > р , то φ (ζ) и φ ( 0 ) = 0 . Таким об­ будет аналитической в окрестности каждой точки ζ = -^-. Следовательно, в полуплоскости R e ( p ) > p