* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

10 Ч А С Т Ь I. О С Н О В Ы О П Е Р А Ц И О Н Н О Г О ИСЧИСЛЕНИЯ ного исчисления и буквой ρ тор стали обозначать не только опера­ но и комплексное число аргумент функции, получен­ ной после преобразования. Однако, одновременно с таким разви­ тием операционного исчисления произошла и реабилитация ста­ рого символического исчисления. Дело в том, что развитие теории интегральных уравнений привело к общей теории линейных операторов, в которой широко интерпретируются «функции от операторов». Именно, устанавли­ вается принцип соответствия между некоторым множеством функций и некоторым классом операторов, при котором каждой функции F (λ) из данного множества функций соответствует опре­ деленный оператор F ( A ) причем единичной функции F ( X ) = I отвечает единичный оператор E и функции F (K) = X отвечает оператор А» Строго говоря, здесь идет речь об изоморфизме между неко­ торым классом операторов и некоторым классом функций, при котором единичной функции отвечает единичный оператор, функ­ ции F (λ) = λ отвечает сам оператор А и сумме и произведению функций F (λ) -f F (λ) и F (λ) F (λ) отвечают сумма и произве­ дение соответствующих операторов. Операционное исчисление можно рассматривать с этой общей точки зрения [ 2 0 ] . Преобразо­ вание Лапласа осуществляет указанное соответствие между множеством функций и множеством операторов и на базе это­ го соответствия вполне возможно дать строгое обоснование симво­ лическому исчислению. Наше изложение операционного исчисле­ ния следует этому пути, ибо в настоящее время, когда теория операторов получила широкое применение не только в мате­ матике, но и в физике, естественно и операционное исчисление излагать в терминах теории операторов. t 1 2 1 2 § 2. И Н Т Е Г Р А Л ЛАПЛАСА Обозначим через / (t) функцию действительного переменного ί, 0 < £ < + со, интегрируемую на любом интервале (0, А) в смысле Лебега. Пусть р = а + гЧ — комплексное число. Выражение Q O (2.1) о называют интегралом Лапласа, а функция F (р) называется пре­ образованием или трансформацией Лапласа функции / ( £ ) . Приведем основные свойства интеграла Лапласа. 1°. Если интеграл (2.1) сходится в точке р , то он сходйтся во всех точках р, для которых R e Q p - р ) > 0. 0 0