* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

S 1. ВВЕДЕНИЕ 9 где -η (t ) — единичная функция, т. е. η(ί) = 1 при / > 0 и η (t) = О при t < О. Здесь F (х р) — решение уравнения ( 1 . 2) — рассматривается как функдия от оператора ρ и параметра х, а и (ж, t) = F (χ; ρ)η (г) есть результат воздействия оператора F (x\ρ) на единичную функцию η(ί). Вычисление значения оператора над единичной функцией проводилось следующим путем: у t о Затем Отсюда легко найти значение оператора η. Посредством разложения на простые дроби вычислялось значение H (ρ) η, когда 7/ (/?) есть рациональная дробь. Наконец, предельным переходом удавалось иногда найти значения оператора H (ρ) η и для случая, когда H (р) — мероморфная функция. Формальное обращение с дифференциальным оператором естественно вызывало у многих чувство неуверенности и вносило неясность в приме­ нение операционного исчисления. Строгое обоснование операционного исчисления началось зна­ чительно позже, когда была установлена связь между функциоOO нальцым преобразованием Лапласа о и символиче- ским исчислением. Оказалось, что при преобразовании Лапласа оператор дифференцирования переходит в оператор умножения на комплексную переменную р. Отсюда следует, что если в дифференциальном уравнении (1.1) заменить u(x t) на t OO и (х\ р) = ^ и (х, t) e~P f dt, о то уравнение преобразуется в ^обыкновенное дифференциальное 1 уравнение относительно неизвестной функции и, ибо вместо про­ изводных по переменному t в уравнении появятся множители р * Обратный переход от функции υ (χ, ρ) к и (x t) осуществляется известным интегралом Римана-Меллина [ 1 9 , стр. 2 0 2 ] . П о этому пути, т. е. по существу по пути применения кон­ турных интегралов, и пошло дальнейшее развитие операционf