* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

$ 2. И Н Т Е Г Р А Л Л А П Л А С А 41 Действительно, пусть t φ(ί)= $ 3 f{u)e-P° du. u о Так как А О < f < со t sup |φ (t) \ = M < со , то из равенства А $ / ( 0 erP υ dt = ψ (А) е-(Р-Рв) + (/> - /> ) $ ? (О < Н Р - Р О > ' Λ , А 0 о очевидно, следует свойство 1°. Таким образом, для интеграла Лапласа возможны три случая: 1) Интеграл всюду расходится. 2) Интеграл всюду сходится. 3) Существует число а [такое, что при R e ( / > ) > o интеграл сходится, а при R e ( p ) < o расходится. Н а комплексной плоскости прямая Re (р) = з называется осью сходимости, а число σ —абсциссой С Х О Д И М О С Т И интеграла (2.1). 2°. Если интеграл (2.1 ) сходится абсолютно в точке р = = σ +ί τ , то он сходится абсолютно и равномерно в полупло­ скости Re(/>) > σ · Подобно предыдущему можно определить ось абсолютной сходимости Re(jD) = о , и нетрудно привести примеры, когда σ > а . 3°. Если интеграл (2.1) сходится в точке Po = o + ix и если Ç > 0 и к> 1 — какие-то постоянные, то интеграл сходится рав­ номерно в области Δ, определенной неравенством с c c е € 0 0 0 0 a α α с α с 0 0 |/>-/> |<М*~*о)е ' °-Ч с ( 0 о>с . 0 Согласно t 1°, u интеграл PbU (2.1) в области Δ сходится. Пусть г > О,φ ( ί ) = $ f( )e~ du и Λ > Q такое, что |φ(ί) — < P ( O l < - j f о для t > A t > A . Тогда при σ > с f 0 y 0 0 OO OO ^ / ( 0 е-Р* dt A A е-(Р-Ро)' d [ (*) _ φ ( 4 ) ] = φ со откуда при Л > Л OO 0 2 !tz&J. -<:-*oM. А с—с e 0