* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
Основы теории
вероятностей
и
статистики
685
с параметрами, определенными ниже через f(v) где ν — скорость в у з л а х : О ν ^ 150 о —150 150: 33 750 600 — Ό 300 = 67 500 600 600 0
t
где a = 150, b = 300, с = 600 узлов; £ M \ _ 2 I с In (c/ft) a In (bla) \v I с—a \ с— b b— a
зо о
Кроме того, п о л о ж и м , что направления полетов самолетов равновероятны в круге радиусом 100 миль, но что при этом они всегда летят по прямой линии и не изменяют скорости во время полета. Каково среднее время, в течение кото рого они будут находиться в к р у г е , и каково стандартное отклонение от этого времени? Решение 1. В задаче требуется вычислить матема тическое ожидание времени E (t), когда само леты находятся в к р у г е , которое равно E (LjO) где L — длина пути (хорда), a ν — скорость самолета в круге. Т а к как L и ν являются неза висимыми,
t
-î
иC
2
s
(c—v)
— a)
dv
V (c—b)(c
с—
a
In (bjo) b— a
In (clb) c— b
f
Таким образом, для частных значений a, b 150 In 2 I J2_[600ln2 450 300 150 J In2 0,003087 на у з е л ; 225 2 In 2 F(L\— Г In 2 In 2 I W) 450 150 300 In о 0,000010269 на у з е л 67 500
2
L
J
9
E(LUE L)E(I )
l R
4. Математическое ожидание E(t) величины времени, в течение которого самолет находится в круге, будет: E(t) = E (L) E (^j = (151,7) • (0,0030807) =
2. Вычислим математическое ожидание и стандартное отклонение д л я длины пути в круге. По условиям задачи можно положить, что ми нимальное расстояние г между траекторией полета самолета и центром круга равномерно распределяется между 0 и R — радиусом круга, т. е. функция вероятности д л я г будет: f 0 г < 0 A(r)=\ X/R 0
— со
— СО
со
j
§ со — со
у
f( ^У)х
х
-I
E(L )
E (1U
I
R
D
R
~
3
R
-
Xdxdy=
СО
Α : / Ι (Χ) dx
+
— со мили;
2 6 6 6 7 м и л ь >
Д л я R = 100 миль E ( L ) = 157,1
= 4 ·( ) =
100 4
ν
4 J yft OO — C O
= E W + £j(0
(23-222)
3. Вычислим E (XIv) и E
(X V ):
l
f
s
\Ό J
— со
J o
С 1
т
y
w
d
» =
С_ 2 f i = ^ _
a
J v(b — Û)(C — a)
X dv +
i
,
2
(
i
w
g
)
gv(c
—
b)(c
— a)
»
Т а к и м образом, математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий случайных величин. Такое утверждение справедливо как для не прерывного, т а к и д л я дискретного распределе ния случайных величин. (Заметим, что случай ные величины не обязательно должны быть независимыми.) Когда две случайные величины незави симы, можно получить формулу д л я суммы мо-
