* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

686 Анализ цепей [гл 23 ментов порядка выше первого через моменты от­ дельных случайных величин. Из § 23-20 харак­ теристическая функция X(s) д л я суммы двух независимых случайных величин χ и у будет. у(а) = E(e- v>)= s{x+ где f ι (Jf) F$(y) и F(z) я в л я ю т с я функциями рас­ пределения соответственно д л я x у иг = χ + у. t t E (e- e~ ). sx sv Т а к к а к χ и у независимы, у р а в н е н и е (23-221) будет: у (S) = зависимы), 2 = Χι (β) Xi («> (*. У не­ (23-223) где у ι (χ) и χ Qf) я в л я ю т с я характеристическими функциями величин χ и у. Р а с к р ы в а я уравне­ ние (23-223) и решая относительно моментов, получим следующие р е з у л ь т а т ы : Е[(х + УУ\ = Е(х*) + Я ( у ) + 2Е (χ) E (у) (x у независимы); (23-224) 2 t Пример 23-37 Рассчитать количество независимых изме­ рений, которые должны быть проведены на источнике гауссовского шума, чтобы средиеквадратическая величина измерений σ* нахо­ дилась с вероятностью 0,95 в пределах 50% стандартного отклонения, если математиче­ ское ожидание измерений равно нулю, а стан­ дартное отклонение σ. Решение «1+ „ = + Е(?) E К* + У)*\ - E (χ + у) = Е(х>) + + 2Е (χ) E (у) — £ * (χ) — Е*(у) — s 1. Вычислим характеристическую функцию д л я суммы результатов измерений шума с гаус­ совым распределением χ? +x , + ... +Jf^. Пред­ полагается, что все отдельные случайные вели­ чины имеют одинаковое нормальное распреде­ ление, а именно: s — 2Е(*)Е(у), = O + °у (x У н е з а в и с и м ы ) . (23-225) Д л я двух независимых случайных величии квадратичное отклонение суммы равно сумме квадратичных отклонений каждой из случай­ ных величин. Эта формула применяется д л я двух и более случайных величин. Однако д л я центральных моментов выше третьего порядка простой вид уравнения (23-225) не сохраняется. Т а к к а к характеристические функции я в л я ю т с я (двусторонними) преобразованиями Л а п л а с а или Фурье функцийплотности вероятности,то можно получить функции плотности вероятности из характеристических функций при определенных ограничениях относительно сходи мости, на­ лагаемых на входящие в них интегралы. Т а к , функция плотности вероятности f(z) д л я суммы двух случайных величин ζ = χ + ν и харак­ теристическими функциями д л я каждой иэ иих Xi(S) и Xi(s) будет в ы р а ж а т ь с я следующей формулой: или _j_ 2 у v t fi [хд = так что — е • I ( — 1оо <χι <оо), лежит — χ σ у 2π вероятность 1 t которая dxi = между Xi и X + dxi будет fi(x{) χ ~* х е /2а3 dxi ( — со < X < ce). 1 Пустьyi = xh тогда в е р о я т н о с т ь ^ , которая л е ж и т между у; и у + dyt, будет: г gi(yùdy t = Ifi(Xi) t dXi = —^= • " dyi σ 1/2« 1/уг ( — о о < л " г <Соо) ( 0 < _ у < о о ) . Характеристическая функция для будет* y^i(s) Xei (s) =1 σ l / 2π l/y СО «№ (2a S-T- l ) " 9 / ? /(2)= — If i(s)e ds= sz £ /.ι (s) X i ( S ) ^ r f s - СО — со (23-226) Эквивалентная формула может быть выведена из уравнения (23-226): со Т а к к а к случайные величины x X x независимы, характеристическая функция X (S) для jcf -I+ ... + Ji = у +у*... +у равна: tt i jf i rt х п n 2. Найдем функцию плотности вероятности /|(«—ς)/,(5)«β=* для jcf-r-jC5 + + Характеристическая 2 /(г)= J — СО- / ι ( ϊ ) Λ ( ζ — 5)<ß, (23-227) функция д л я суммы является функцией х -распределения. Ф у н к ц и я плотности вероятности для суммы будет: (/1-2)/2-^/2** где /i(Jf) и fi(y) я в л я ю т с я функциями плотности вероятности д л я случайных величин χ и у.И та и д р у г а я форма уравнения (23-227) называется интегралом свертывания.Эквивалентны ми урав­ нениями д л я функций распределения являются со — со = £ F (ζ — ξ) / , (ς) — со 2 3. Подсчитаем число независимых нений, не обходи мы χ дл я дости же ни я чтобы с вероятностью 0,95 сумма σ* = /(ΧΪ + ΧΪ + ·..+Χ*)/η изме­ того, находилась в пределах 50% величины стандарт­ ного отклонения σ. Д р у г и м и словами, найдем такое л, чтобы вероятность Я = 0,95, JCÎ + JS C + . . . + Λ ; СО rfî, (23-228) 0,25a s < <2,25σ*