* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

684 Анализ цепей [гл. 23 дачах, содержащих вероятности положения поворотных устройств, где у г о л поворота равно­ вероятен. Э к с п о н е н ц и а л ь н о е распре­ деление. Это распределение применимо, когда случайной величиной я в л я е т с я длина ин­ тервала, на котором не п о я в л я е т с я определен­ ное событие, если средняя скорость появления события равна λ (распределение Пуассона при г = 0) (см. § 23-20г). Р а с п р е д е л е н и е Р э л е я . Если на входе фильтра, передаточная функция которого симметрична относительно средней частоты фильтра и имеет малую ширину полосы пропу­ скания по сравнению с е г о средней частотой (например, усилитель промежуточной частоты), существует тепловой ш у м , то на его выходе появится ш у м в виде синусоидальной волны со случайной импульсной модуляцией и со слу­ чайными изменениями фазы. Распределение на выходе в виде синусоидальной волны все еще остается нормальным (гауссовым), т а к к а к любой процесс, описываемый распределением Гаусса, приводит к другому процессу, кото­ рый т а к ж е х а р а к т е р и з у е т с я распределением Гаусса при условии, если первый процесс пре­ образуется с помощью т а к о г о линейного устрой­ ства, к а к фильтр. Однако распределение ам­ плитуд синусоидальных волн не остается нор­ мальным, а следует распределению Р э л е я , по­ казанному в т а б л . 23-10. Е с л и σ есть среднеквад­ ратичная величина н а п р я ж е н и я шума на входе, то на выходе математическое ожидание вели­ чины н а п р я ж е н и я , или постоянная составляю­ щ а я , будет σ У π/2 Это то н а п р я ж е н и е , которое появилось бы на выходе идеального линейного детектора. Д л я идеального квадратичного де­ тектора, т. е. д л я устройства, которое возводит в к в а д р а т входное н а п р я ж е н и е , постоянная составляющая на выходе была бы s ( 2 — π/2 + π/2) = 2σ*. ff Величины Px\y lx )\ P (X Iy ): fi(y/x); h(x'y) являются функциями плотности условной ве­ роятности двух случайных величин: y появится при условии, что появилось х ; х следует за yt\ у следует за χ и χ следует за у. Функции плотности вероятностей x y х, у обозначаются соответственно P (X ) P OV), Mxh h (У)- Ве­ роятность появления х при появлении всевоз­ можных величин y будет: t r 9 r i t г Г rt tt i r f 2 г t M Px(Xr)= J P (хп y ). t (23-214) Подобно этому N P^ (Уt)= г=Q со (Хп yt); (23-215) /.W= Ç — СО со f{x,y)dy\ (23-216) Л (У)= — СО j t f(x, y)äx. (23-217) Если 'Piy Ix ) = P (y ), то говорят, Vvoy не зависит от х или говорят, что х и y взаимонеэависимы (за исключением тех значений случайных величин, вероятность которых равна нулю). Т а к ж е если fi (ylx)=fs(y) то у не зависит от х а χ не зависит от у. Т а к и м образом, если две случайные величины незави­ симы, то t r 8 t Т г t f г P (X n Уд = Pi (Xr) P^ (Уд; (23-218) (23-219) f(x,y)=fi(x)h(y). Н о р м а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е с а м п л и т у д о й , в о з в е д е н н о й в к в а д р а т . Это распределение применяется для процесса, описываемого гауссовым распре­ делением, в котором с л у ч а й н а я величина вы­ бирается к а к амплитуда в к в а д р а т е , например для описания теплового ш у м а , где в качестве случайной величины выбирается мощность. Его можно т а к ж е отнести к χ — распределе­ нию, применяемому при проверке важности последовательности наблюдений случайного про­ цесса (см. пример 23-37) [Л. 9]. 23-20л. Совместные распределения вероят­ ности; умножение случайных величин. В §23-20 б уравнение (23-178) можно н а п и с а т ь в виде функ­ ции совместного распределения плотности ве­ роятности д л я двух случайных величин. Д л я двух дискретных с л у ч а й н ы х величин х и y (r = 0, 1, 2 , . . . , N; t = 0, 1, 2,..., М) функция совместного распределения плотности вероят­ ности будет: 2 г t Кроме того, если две случайные величины х, у независимы, то математическое ожидание произ­ ведения этих величин E (x у) будет Е(х)Е[у): t OO OO Е(х*У)= со ^ § xyf(x* У) dx d y = = — СО — \\ ^ xy OO i — со — со со x ^ ^ dx dy % Е(ху) = Е(х) E (у). (X у независимы). (23-220) На самом деле д л я любых функций случайных переменных g(x), h(y) E \g(x)h(y))= ElS(X)] E\h{y)] (23-221) (χ, у независимы). Соответствующие в ы р а ж е н и я математического ожидания д л я дискретных случайных ве­ личии остаются т а к ж е с п р а в е д л и в ы м и . Пример 23-36 = P*(yt)P*~ (VJV)(23-212) При непрерывном распределении функция со­ вместного распределения плотности вероятности д л я двух случайных величин х н у будет: п r Pi (х Уд = Pt (X ) Pi (УМ / (х> У) = Mx) (УIX) / • O O Λ Ш- (23-213) Р а д и о л о к а ц и о н н а я станция способна об­ н а р у ж и т ь любой самолет в радиусе 100 морских миль. Пусть в результате исследования найдено, что распределение скоростей υ самолетов проис­ ходит приблизительно по треугольному закону