* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ Из ураввения у = 20Х — и находим д* = 0, и так как все производные до 4-го порядка вклю­ чительно равны нулю при х = 0, но у ^ + 0, то начало координат — точка перегиба. В промежутке О < -г < оо кривая обращена вогнутостью в сторону + у, в промежутке — оо < < X < О — в сторону — у . 2) Для нахождения точек перегиба кривой ( X -|- у ) — 2д (ж — у ) = D — а* (овал Кассини) вычисляем: п 3 1 3 3 а 1 3 t 6. О п р е д е л я ю т t при которых воз­ можно изменение знаков параметриче­ ских производных, т. е. такие значе­ ния I при которых x'(t) = 0 , y'(t) = О, % t J r - O . - L = o . t F F X F F xx x = AxiX -^y 1 1 -а^у. 3 3 y = Ay ix* + у + а ) ; = 4{Zx* + = Sxy; =а 4 ( X Х 3 y -a*); 2 jcy Фнг. 2 1 . Овал Касснни. р У* H - Условия (*) принимают вид: (X 1 7. Строят ш к а л у переменной t и т а б л и ц у изменения X у по определен­ ной схеме (см. пример на стр. 2 6 5 — 2 6 6 ) . 8. Н а х о д я т особые точки. 9. Находят вершины кривой (см. стр. 2 6 8 ) . 10. Находят точки перегиба. 1 1 . Н а х о д я т д о п о л н и т е л ь н ы е точки, например у з л о в ы е , т. е. находят такие f , C при которых x(t ) = х (U) у (Z ) = 0 b Q t 0 = + У(Ь). у*)* — 2а* (х — у ) — Ь* + а* = О, я а 1 [(X 1 + у") - a*] [(X 1 + J/') - а» 3 4 a 3 (X 1 - y )J + a + R f l x y = 0; вэ этих уравнений находим о* A 3 4 12. Построение схематического чер­ тежа надо начинать с вычерчивания бесконечно удаленных ветвей, а затем от точки при t= — с о пройти по всем интервалам изменения t в соответствии с таблицей и закончить точкой t = + со. Н а кривой стрелками указывают на­ правление обхода. Пример. Исследовать / (_ f - 1' — р — Вычисляем 3 у 2х 3 / / _ Ь — а* За» ' 1 = форму кривой х— 2yi Г & — а* , о * — а' = 1 — з — + ^ r - ; перегиба, действитель­ х-получаются четыре точки ные при условиях dy ах ' « - 2 ) . U - I ) 1 V , = _JL±J_. it' - ' у if* — а* Ь* — а* Бесконечно удаленные точки / = ± 1, t = ± с о и асимптоты найдены выше (стр. 261). Для каждой из функций X у, х \ у ' находим те значения /, при которых эти функции обращаются в и или в со: 1 / откуда fl > & > а (фиг. 21). х = 0 при t = 0; / = 0; t = ± оо, / = 0 , / = 2; t Исследование и вычерчивание кривой по уравнениям х = х (t) У = У ( 0 про­ изводятся по с л е д у ю щ е й схеме. 1. Находят дифференциальные эле­ менты: производные у ' , X у " , Jt"', у " ; t jr t у = 0 х' = О у' = 0 X = ± со; = ± оо при / = 1; . . . t = *у_ dx d*y dx* y"x f — X'* x"y' у = ± со X f ±1; = -Oo / = 1; / = ± 1, 2. Находят точки кривой, которых X бесконечно удаленные т. е. значения t при t >' = - о о — — - — О или — — = 0. 3. Н а х о д я т асимптоты. 4. О п р е д е л я ю т экстремумы х и у . 5. Н а х о д я т пересечение кривой с осями координат. (0 > (/) Имеется экстремум X при I = O и при / = 2; в втих точках касательные параллельны оси у и кривая делает поворот. Состаиляется чертеж (см. фиг. 6); для этого соединяются плавными ли­ ниями бесконечно удаленные ветви и отдельные точки с указанием направления движения по кривой от / = — оо.