* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
264 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ касательных в этой точке: у" = O т. е. две со впадающие с осью Ox прямые. Исследование явных уравнений t у = х » (з + YTfx); у = X (з t YTTx) показывает, что обе ветви лежат по одну сторону касательной (так как при | х | < 1, у > 0). Осо бая точка — точка самоприкосновения (фиг. 16). 4) Для кривой ах (X — у ) — ( x » - f у ) = 0 на чало координат — трехкратная особая точка, так как в уравнении отсутствуют члены до 2-го по рядка включительно. Совокупность касательных в начале координат определится уравне нием X ( х — у") = 0. Уравнение распадается на три уравнения: X = 0, у = х , у = — х . Кривая симметрична относительно Ох. Урав_ нение кривой в полярФиг. 17. Трехкратная точкоординатах г = ка кривой ах < х > - У ) ~ = a cos < cos 2 р пока¬ р < U + У ) — °зывает, что кривая за мкнутая (фиг. 17). t 1 а а 1 н ы х г — r Выпуклость, вогнутость, точки пере гиба. Пусть касательная в точке M (д*, у ) кривой у = I (х) не п а р а л л е л ь н а Oy; вблизи точки M кривая имеет вогнутость в сторону + у , если точки Mi(xi, y i ) , достаточно б л и з к и е к точке M с обеих ее сторон, находятся по одну сторону от касательной в точке M причем д л я одной и той же абсциссы х орди ната к р и во й бол ьше орди п аты касательной. В о г н у т о с т ь в сторону + у 1 характеризуется (фиг. 2 0 ) . условием dx? ^ Аналогично определяется в сторону — у, вием < 0. Вогнутость в вогнутость усло¬ сторону характеризуемая Другие особые точки, кроме рассмо +у при у > 0 есть в то же время вы пуклость к оси Ox тренных, могут быть, если нарушается непрерывность функций или производ ных функций, входящих в уравнение кривой. Е с л и при движении по кривой у = = f (х) функция после прохождения через точку (x у ) перестает существо вать или становится мнимой, то эта точка называется точкой прекращения или точкой остановки; например, кри вая у = X I n X имеет в начале координат точку прекращения (фиг. 18). Qt 0 ( у с л о в и е уу' > 0 ) , а вогнутость в сторо ну + у при у < 0 есть вогнутость к Фиг. 20. Вогнутость оси Ox (условие в сторону + у . уу* < 0). Точка на кривой, в которой вогнутость в одну сторону меняется на вогнутость в д р у г у ю с т о р о н у , назы вается точкой перегиба. В это й точ ке касательная пересекает к р и в у ю . Зна чение X точки перегиба кривой y = f(x) находится из у с л о в и я у" = 0 , если у ' " Ф 0 . В общем с л у ч а е в точке пере гиба У =У Фиг. 18. Точка прекращения кри вой у = X In х . Фиг. 19. Угловая точка кривой У = Xld +*'*). Е с л и касательная п а р а л л е л ь н а Oy, то точки перегиба находятся из уравне¬ ния -—, = 0 dy 1 Точка на непрерывной кривой, в кото рой направление касательной претер певает разрыв непрерывности, назы вается угловой. Уравнение у =» =— содержит Д л я кривой X = X(V) у — у (t) значе ния /, соответствующие точкам пере гиба, находятся из условий х'у" — 4 — у'хГ = 0; Xу t ш — X у' м Ф 0. Д л я кривой F(x у ) = 0 возможные точки перегиба определяются у с л о в и я м и t 1 функцию е при JC = 0 . dy + е х F (Fy) Fxx2 (x t у ) = 0; + (Fx)Wyy (*) = Ü. , которая имеет разрыв Сама кривая непрерывна, разрыв непрерывности WxFyFxy но имеет Примеры: 1) Найти точки перегиба параболы 5-го порядка у = х 4-х«: у ' - 1 + 5х«; ^IV в при X = 0 (фиг, 19). Алгебраические кривые не имеют ни у г л о в ы х точек, ни точек прекращения. у"-20х»; 1 2 у ' " = 6йг»; ох; y v = 12U.