* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ 263 Если одна действительная пара реше­ ний этой системы ( х , у ) не обращает и н у л ь хотя бы о д н у из частных произ0 0 водных 2-го < r F о с порядка F & F xx = ^ F *м , г ,F = xy г f F = o\Töy yy = ty' ° называется двойной (или двукратной). Если д л я координат точки на кривой все частные производные до (п — 1)-го порядка от функции F (x у) равны н у л ю , а производные л - г о порядка не все равны нулю, то такая точка — п-кратная. У р а в н е н и е совокупности касательных и двойной точке (x уо) TOT04Ka lx 0 , = О или < 0. У г л о в о й коэффициент этих касательных определяется по с л е д у ю щ е й формуле: 0 0 1) Для уравнения у + х* — х = О 1 3 0t 0 F x - 2х - Зх»; F F ху - 2у; F г jcx = 2 - 6х; = 0 ; /=" = 2. уу 2 В особой точке х = у — О производные 2-го по­ рядка равны: А = 2. B = O, C = J. Так как Д =» = — 4, то начало координат является изолирован- • J r I - B ± Уд]. Qt 0 Если Д > 0 , то точка (x у ) назы­ вается узловой с двумя касательными (фиг. 11). При Д < 0 точка называется изолиро­ ванной; вблизи этой точки нет д р у г и х 4=* Фиг. 14. Иэолированная точка крнвой >»» + JC - X* -0. 1 Фиг. 15. Узловая точка лемнискаты 2а ( х — у ) — - ( X - h y ) =- 0. а 1 1 lt 1 1 Фиг.П.Узловая точка. Фиг. 12. Точка самоприкосно­ вения. Фиг. 13. Точка само­ прикоснове­ ния. ной (особой) точкой. Форма кривой (фиг. 14) определится исследованием явного уравнения у =• - ± Vx (х — !)• При 0 < X < 1 соответствую­ щие у — мнимые. 2) Для лемнискаты Бернулли 2а ( х — у») — _ (JC* _|_ y»)t — о начало координат является узло­ вой точкой, так как Д > и. Совокупность каса­ тельных в этой точке определится из уравнения 1 1 а точек кривой. При Д = О точка может о а быть точкой возврата точкой самоприкосновения (фиг. 8 и 9), (фиг. 12 и 13) (x 0t г? или В обыкновенной трехкратной точкой. точке у) 0 сово­ купность касательных деляется уравнением (х X ^F 0 xxx к кривой 2 опре­ + 1 1 Фиг. 16. Точка самоприкос­ новения кривой у — 6х»у + + 8х - X = 0. 4 6 + 3 (х-х )*{у 0 0 0 y )F 0 xxy + 3 (X-Jf ) (у-JF ) f x j * + где частные производные от F (х, вычислены при х = х , у = у . 0 0 у) X — у = 0: в начале координат — две действи­ тельные касательные у = х , у = — X (фнг. 15). Кривая симметрична относительно осей коор­ динат. Полярное уравнение втой кривой г* => в 2а cos 2<р показывает, что 0 < г < a Y'2', кривая замкнутая. 3) Для кривой у* — 6х»у + аг* — X = 0 начало координат — особая точка; Д — 0. Совокупность а е