* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

262 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ у - 0. оставаясь положительным; получается одна и та же асимптота у = 0 при t = ± оо. 3) Гиперболическая конечно удаленную спираль г = — имеет точку 9 = 0, бес­ где н о производные Й + 1 вычислены k при Z = t . 0 Пусть 5 = S ^ 2 = = S M ^ 1 = O , I I m z - = Oo; ^ А + р ^ 0 ; тогда, если к — нечетное, р — нечетное, то в точке M кривая л е ж и т по одну сторону касательной и по разные стороны нормали; если к— нечетное, р — четное, то M — точка перегиба; если к — четное, р — нечет­ ное, то M — точка возврата 1-го рода (фиг. 8 ) ; если к — четное, р — четное, то M — точка возврата 2 - г о рода (фиг. 9 ) . 0 0 0 0 Z--/ Фиг. 6 . Построение кривой. Фиг. 8. Точка воз­ врата 1-го рода. Фиг. 9. Точка воз­ врата 2-го рода. асимптота параллельна полярной оси. Расстоя­ ние от полюса до асимптоты (фиг. 7) р = I l m г s i n 9 ==« 9 - 0 9 - 0 I а. Только в двух последних с л у ч а я х окрестность точки M не является про­ стой дугой; точки возврата 1-го и 2 - г о рода являются особыми точками кри­ вой (4). 0 Особые точки. В о с о б о й Фнг. 7. Гипербол ическая т о ч к е /W (Z ) спираль. к р и в о й (4) (см. стр. 2 5 8 ) одновременно о б е производные: х' ( Z ) = = O у* (Z ) = 0 . И з этих уравнений находится Z . М о ж е т с л у ч и т ь с я , что при Z = Z будет 0 0 0 1 0 0 0 Пример. Параметрические уравнения обыкно­ венной циклоиды х, — a (Z — s i n f)\ у — а (1 — cos f); а — радиус образующего круга. Из уравнений х' = а ( I - соз 0 = 0 , находим общие корни Z - 2mic, где т — любое целое число. Вычисляем: x у 9 n у ' = a slq ( = 0 JC' = хГ - X rft т ) . . . — дг< --> = 0 ; т - a s i n г; = a cos t\ у х t - 2тк = a .0: 0; * { Со) * 0 ; = ... = у 0 / = 2тя у' = у" = v w ( я — 1 * = 0; число А = 2. Вычисляем: х'" — a cos /; при / = 2 т * х " = а; у " ' - — a s i n Z; при t = ? т п у ' " = 0; составляем Ä2_|_i = х у п т .V (Z )^O. w X 0 Уравнение касательной в особой точке — ж (Z ) у — у (Z ): при Ti = т 0 i 0 0 — у"х'" «= 0-0 - а-а = - а + O 1 1 х — х л* ( т ) 0 У —Уо У < т ) следовательно, /7 = 1. Точки при Z =» 2 т * точки возврата 1-го рода (фиг. 10). У суть ('о) ('о) ' при п>т касательная п а р а л л е л ь н а Ох: у — у = 0 ; при п < т касательная п а р а л л е л ь н а Oy: х — X = 0. Обозначим наименьшее из чисел л , т через к и составим выражение 0 0 f=0 t*üc Фиг. 10. Циклоида. В t особой точке x кривой t (2) y t одновре­ менно удовлетворяются три уравнения: F(x у) = 0 ; F {X у) = 0 ; F (x у) = 0 .