* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОГООБРАЗИЯ 535 2 с подходящими коэффициентами может быть сделана гомологичной любому 1-циклу (таким образом, Pi = 2). Далее, 2-цикл Z , являю­ щийся границей центрального кубика, гомологичен 2-циклу Zf, яв­ ляющемуся границей тела рода 2, ибо разность этих циклов дает границу 3-цепи, составленной из всех 36 кубиков. Нетрудно убе­ диться, что любой 2-цикл гомологи­ чен AZ , где А — целое число. Дву­ мерная группа Бетти, следовательно, есть бесконечная циклическая, и по­ тому р = 1. Для трехмерной сферы (пример 1 п. 2.6) значения чисел Бетти следую­ щие: р Ь, р = 0, р = 0, р — 1; для проективного пространства (пример 2 п. 2.6) числа Бетти имеют те же зна­ чения; в частности, р = 0. Однако здесь одномерная группа Бетти не Рис. 31. состоит из одного нуля, в ней суще­ ствует единственный отличный от нуля элемент: цикл Z , составленный из ребер, на которые предпо­ лагается разбитой «проективная прямая):, не гомологичен нулю. Неожиданным является то обстоятельство, что цикл 2 Z гомо­ логичен нулю. Проще всего в этом убедиться, проведя через прямую «проективную плоскость» (на нашей модели «прямая» — это диаметр шара, причем концы диаметра отождествлены; «проектив­ ная плоскостью — это проходящее через данный диаметр плоское сечение шара, причем диаметрально противоположные точки этого сечения должны считаться отождествленными). Ориентируя 2-клетки, лежащие на нашей модели проективной плоскости, по одну сторону от диаметра, по часовой стрелке, а 2-клетки, лежащие по другую сторону, — против часовой стрелки, составим из них 2-цепь с границей, равной 2Z . Итак, 2Z*~0. Таким образом, для топологического различения проективного пространства Р и сферы S числа Бетти оказались недостаточ­ ными, однако различие их одномерных групп Бетти убеждает нас, что Р не гомеоморфно S . В примере 4 (п. 2.6) всякий 1-цикл гомологичен линейной ком­ бинации циклов Z { , Zg, Z j , получающихся из 1-клеток, на кото­ рые разбиты три взаимно перпендикулярных ребра куба (каждое из них превращается в замкнутую линию при отождествлении соответственных точек). Точно так же всякий 2-иикл гомологичен линейной комбинации циклов, Zf, Zg, Z j , получа-ощихсн из грех взаимно перпентикулярных граней куба (каждая H J граней при отождествлении граничных точек куба обращается и тор—носитель 2 2 0 х 2 8 х 1 1 1 3 3 3 3