* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

536 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ цикла Z A , k = 1, 2 , 3 ) . Рассматриваемое многообразие имеет числа Бетти: р = 1, Р! = 3 , р = 3 , р = 1 . Наконец, можно убедиться, что в примере 5 (п. 2.6) числа Бетти многообразия S -S все равны 1: 0 2 8 2 l />0 = Р1 = Р 2 = Р , = 1Для любого трехмерного комплекса формула Эйлера: 0 2 а 0 справедлива 2 обобщенная Х = а — «i + a —а = р — P i 4 - p —Р, (доказательство см. в книге [1]). Соответствующая формула для двумерного комплекса X = ос — 0 a такова: i + а г = Р о — P i + Pa • Для трехмерного многообразия из формулы Эйлера вытекает интересное следствие: так как % = 0 для всякого замкнутого трехмерного многообразия, то для ориентируемого многообра­ зия ( р = 1, р = 1) получаем р ~р (закон двойственнос­ т и П у а н к а р е ) . Для неориентируемого многообразия (р = 1, р = 0 ) получаем р = р - М - Значит, для неориентируемого замкну­ того трехмерного многообразия число р всегда положительно, и поэтому одномерная группа Бетти непременно бесконечна. Применим теперь формулу Эйлера к замкнутым поверхностям. Для ориентируемой поверхности ( Р о = 1 , р = 1) находим х = 2 — p . Для иеориентируемой ( р = 1 , р = 0 ) — имеем %=\—p Эти соот­ ношения показывают, что для ориентируемой поверхности одно­ мерное число Бетти р совпадает с порядком связности: pi = q а для иеориентируемой замкнутой поверхности p = q— 1. 0 ь г 2 0 г 1 2 г 2 t 0 2 v г t x § 3. Общие топологические понятия ЗЛ* Метрическая геометрия. В предыдущих параграфах рассмат­ ривались сравнительно простые, элементарные фигуры—линии, поверхности, многообразия. Теперь мы займемся любыми фигура­ ми — произвольными точечными множествами. Топология изучает множества элементов любой природы, лишь бы в них было уста­ новлено отношение бесконечной близости, т. е., например, опреде7 лено явление приближения переменного элемента к пределу. Такие множества, в которых определена бесконечная близость, и наэы[ ваются топологическими пространствами в самом широком смысле. Изложению идеи топологического пространства естественно предпослать определение метрического пространства. Понятие метрического пространства, играющее очень важную роль в сов­ ременной математике, не относится к топологии, а принадлежит