* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

534 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Старшее число Бетти р любого л-мерного комплекса 1С есть просто максимальное число линейно независимых циклов в группе всех л-циклов комплекса (здесь переход к фактор-группе отпадает, так как ни один л-цикл, конечно, не может быть гомологичен нулю в 1С)- В частности, для линейного комплекса число р совпадает с порядком связности; именно поэтому для последнего в § 1 и было принято обозначение р . Определим значение р для ориентируемого л-мерного много­ образия. Как уже было сказано, старшие клетки его клеточного разбиения могут быть так ориентированы, что на каждой ( л — 1 ) клетке обе подчиняющие ее старшие клетки индуцируют противо­ положные ориентации. Это значит, что сумма границ ориентирован­ ных таким образом старших клеток равна нулю. Обозначим через Z " линейную форму старших клеток, в которую каждая клетка входит с коэффициентом + 1 . Как мы только что видели, A Z " = 0. Докажем, что цикл Z " является единственным образующим элемен­ том в группе всех л-циклов, т. е. что любой л-иикл 'Z = K flj-h . . . п х у п n 1 -г-Х «а£ равен AZ", где Я. — целое число. Действительно, все коэффициенты K должны быть равны между собой, иначе мы не имели бы цикла. Пусть, например, А,- =й Ау. Тогда, соединяя клет­ ки с," и а} цепочкой л-клеток, в которой каждые две последова­ тельные клетки 'а и "а" имеют общую (л — 1)-клетку (ср. стр. 493), мы убеждаемся, что эти соседние клетки должны входить в сумму ' Z " с одинаковыми коэффициентами, иначе их общая (л —1)-клетка вошла бы в A ' Z " с коэффициентом, отличным от нуля (равным разности коэффициентов при клетках ' а и V ) , и, следовательно, цепь A ' Z " не была бы равна нулю. Таким образом, коэффициенты при всех «-клетках нашей цепочки одинаковы, что противоречит предположению к;Фк^ Этим доказано, что группа всех л-циклов порождается одним образующим циклом Z", и потому р = 1. Для неориентируемого замкнутого многообразия, а т а к ж е для всякого многообразия с краем старшее число Бетти равно нулю, так как в них вовсе не существует отличных от нуля циклов старшей размерности. Чтобы составить наглядное представление о числах Бетти про­ межуточных размерностей, разберем следующий пример: на рис. 31 изображено многообразие с краем, сложенное из 36 одинаковых кубиков (здесь к среднему полому кубу, составленному из 26 ку­ биков,— центральный кубик отсутствует — справа и слева присое­ динено по «ручке», составленной из пяти кубиков каждая). Это многообразие с краем представляет собой тело рода 2, из которо­ го вырезана одна 3-клетка—центральный кубик. Вот значения чисел Бетти этого комплекса: р = 1, р = 2, р = 1, р = 0. На чертеже указаны 1-циклы Z\ и Z\ линейная комбинация которых п k п п п 0 г г г % в