* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

460 НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ это следует из того, что в этом случае 6.2. «Общие» геометрии Кэли-—Клейна. Наряду с неевклидо­ выми геометриями Лобачевского и Римана можно указать еще семь других геометрий на плоскости, которые можно получить по общей схеме Кэли —Клейна. К числу этих геометрий относятся и обыкно­ венная геометрия Евклида, псевдоевклидова геометрия Минковского и неевклидова геометрия Галилея. Еще три новые геометрические схемы мы получим, рассматривая в качестве основного элемента соответствующей геометрии прямые линии обыкновенной плоскости Евклида, псевдоевклидовой плоскости или плоскости Лобачевского; при этом роль расстояния» играет угол между прямыми. Эти гео­ метрии также вкладываются в общую схему Кэли — Клейна, однако они не представляют особенно большого геометрического интереса — к ним ведь можно прийти от других известных нам геометрий простой заменой слова «прямая» на слово ^точка» и слова ::угол* — на слово «расстояние». Наконец, последняя, девятая, геометрия Кэли — Клейна на плоскости может быть описана как геометрия, которая возни­ кает на поверхности сферы действительного радиуса псевдоевклидова пространства (рис. 54, а) при условии отождествления диаметрально противоположных точек этой сферы. Так как касательные плоскости к сфере действительного радиуса псевдоевклидова пространства являются, как мы отмечали выше, псевдоевклидовыми плоскостями, то соответствующая плоскость Кэли—Клейна в окрестности каждой точки устроена как псевдоевклидова плоскость. Общая идея Кэли и Клейна заключается в выделении некоторых групп проективных преобразований, которые играют роль «движе­ ний» соответствующей геометрии (ср. стр. 101 — 105 кн. IV ЭЭМ). Эта идея может быть реализована и для трехмерного (проективного) пространства, родственного проективной плоскости; в трехмерном пространстве можно определить 27 различных геометрий Кэли — Клей­ на. В общем же л-мерном пространстве (см. статью «Многомерные пространства» в этой книге ЭЭМ) могут быть определены 3" раз­ личных геометрий Кэли —Клейна. Эти геометрии иногда все называют неевклидовыми геометриями', они составляют весьма важный класс рассматриваемых геометрами ( пространства, строящихся по аналогии с обычным пространством Евклида. 6.3. Модели Пуанкаре плоских неевклидовых геометрий. Другую модель неевклидовой плоскости Римана на евклидовой плоскости мы получим, если произведем с т е р е о г р а ф и ч е с к у ю проекцию сферы на плоскость (см. стр. 22 — 27 кн. IV ЭЭМ), т. е. проекцию сферы из ее точки S на плоскость, перпендикулярную к радиусу OS. Примем за эту плоскость диаметральную плоскость, перпендикуляр-