* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 461 ную к радиусу OS (рис. 84); в этом случае точка S будет одним из полюсов большой окружности ot, высекаемой рассматриваемой плоскостью из сферы. Если уравнение плоскости имеет вид z = 0, то окружность а на этой плоскости определяется уравнением х +у = г , где г —радиус сферы. Нетрудно проверить, что диаметрально противоположные точки М и М сферы при стереографической проекции изображаются нарой точек, одна из которых находится внутри окружности a, a 2 2 2 х Рис. 84. - Рис. 85. другая — вне нее, причем для того, чтобы получить одну точку из другой, следует произвести инверсию или симметрию относительно окружности а (см. стр. 56» кн. IV ЭЭМ), а затем симметрию отно­ сительно центра О этой окружности. В силу нашего условия об отождествлении диаметрально противоположных точек сферы, такие пары точек изображают о д н у точку неевклидовой плоскости Рима­ на. На рис. 85 изображены проекции А, А и В, В пар диаметрально противоположных точек сферы. Точки плоскости Римана можно изображать также только точками, находящимися внутри окруж­ ности а , и парами диаметрально противоположных точек этой ок­ ружности. В силу свойств стереографической проекции, окружности сферы проектируются в окружности или прямые плоскости. Так как любая большая окружность сферы пересекается с окружностью а в двух диаметрально противоположных точках, то большие окруж­ ности сферы и, следовательно, прямые плоскости Римана изобража­ ются на евклидовой плоскости окружностями (или прямыми), пере­ секающими окружность а в диаметрально противоположных точках (такими, как окружность АВА В на рис. 85). Применяя аналогичную проекцию сферы мнимого радиуса псевдо­ евклидова пространства из ее точки 5 на евклидову плоскость, перпендикулярную к радиусу OS, мы получим новое изображение плоскости Лобачевского на евклидовой плоскости. Примем за евкли­ дову плоскость, на которую происходит проектирование, диамет­ ральную плоскость, перпендикулярную к радиусу OS (рис. 86). х х г г