* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 459 конус (23), на проективной плоскости изображаются преобразова­ ниями, переводящими прямые линии снова в прямые ( проективными преобразованиями:), при которых коническое сечение переходит само в себя. Модель плоскости Лобачевского внутри круга евкли­ довой плоскости была предложена Э. Б е л ь т р а м и ; модель плоскости Лобачевского во внутренней области любого конического сечения на проективной плоскости была предложена Ф. К л е й н о м , который (как и все современные ему математики) не обратил должного внимания на конец мемуара Бельтрами, в котором изла­ галась его модель, и пришел к близким идеям самостоятельно. Ф. Клейн установил, что движения плоскости Лобачевского как в случае Бельтрами, так и в общем случае, изображаются проек­ тивными преобразованиями, пере­ водящими в себя коническое се­ чение. Модель плоскости Лоба­ чевского на проективной плоскос­ ти называют м о д е л ь ю (или ин­ терпретацией) Б е л ь т р а м и — К л е й н а . Модель неевклидовой плоскости Римана (сферы с отож­ дествленными диаметрально про­ тивоположными точками) на про­ Рис. 83. ективной плоскости была пред­ ложена 'А. К э л и , которому принадлежит и гораздо более общая идея «проективного мероопределения»; однако тот факт, что геомет­ рия Лобачевского входит в общую схему мероопределений, опреде­ ленных Кэли, был установлен только Клейном. Геометрии, которые можно получить, вводя на проективной плоскости метрику указан­ ным Кэли способом, аналогичным построению проективных моделей геометрий Римана и Лобачевского, называют геометриями К э л и—К л е й н а. Можно показать, что расстояние р ( Д В) между точками А и В плоскости Лобачевского, изображаемой указанным способом как внутренность конического сечения проективной плоскости (рис. 82,а), выражается через двойное отношение Ц АВ~ (IA :JA):(IB:JB) то­ чек А и В и точек / и J пересечения прямой АВ с коническим сечением (рис. 83,6) по формуле Л р ( Л , B) = | - l n 7 7 ^ B , (50) где In—натуральный логарифм. Из формулы (50) нетрудно вывести, что если A В, С—три точки одной прямой и точка В находится между Л и С, то t Р (А,С) = р [А,Щ \ р{В С); 9 (51)