* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

458 НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ Геометрия Галилея в пространстве трех и четырех измерений может быть построена аналогично. Например, геометрия Галилея т р е х м е р н о г о пространства (х, у, t) изучает те свойства фигур этого пространства, ко­ торые сохраняются при преобразованиях Галилея (28а) (стр. 433). Неевкли­ дова геометрия Галилея ч е т ы р е х м е р н о г о «пространства — времени» (х, у* z, t) интересна тем, что с ее помощью можно описать на геометрическом языке все понятия и факты классической механики Ньютона. Мы, однако, не останавливаемся здесь подробнее на этой геометрии, поскольку все ее характерные особенности хорошо видны уже на примере неевклидовой геометрии Галилея на плоскости (х, /). § 6. Неевклидовы геометрии и группы преобразований 6 . 1 . Проективные модели геометрий Лобачевского и Римана. Двумерные неевклидовы геометрии Римана и Лобачевского, как мы видели, можно рассматривать как геометрии, возникающие на сферах евклидова и псевдоевклидова про­ странства при условии отождествления диаметрально противоположных точек этих сфер. Эти геометрии можно также рас­ сматривать как геометрии на проективной плоскости. Для этого достаточно спроек­ Рис. 81. тировать сферу из ее центра на любую плоскость евклидова или псевдоевклидова пространства, не ироходящую через центр сферы, дополнив эту плоскость несобственными («бесконечно удаленными») элементами до проективной плоскости (см. стр. 112—113 кн. IV ЭЭМ). При этом неевклидова плоскость Римана изображается проективной плоскостью ц е л и к о м , так что плоскость Римана можно се­ бе представлять как метризованную специаль­ ным образом проективную плоскость. Плоскость же Лобачевского, напротив, изображается толь­ ко частью проективной плоскости, высекаемой из нее конусом (23). Проектирование неевклидо­ вой плоскости Римана на проективную плоскость изображено на рис. 81; аналогичное проектирова­ ние плоскости Лобачевского встречалось нам рань­ ше и было изображено на рис. 55, где плос­ кость была расположена таким образом, что ко­ нус (23) высекал из нее окружность. При дру­ гом расположении плоскости этот конус высекает Рис. 82. из нее любое коническое сечение — эллипс, гиперболу или параболу (на рис. 82 изобра­ жен случай гиперболы); однако во всех случаях плоскость Ло­ бачевского изображается внутренней областью этого конического сечения. Движения плоскости Лобачевского, роль которых играют повороты сферы мнимого радиуса, переводящие в себя также и