* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

358 МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА плоскости (5а) (т. е. перпендикулярный ко всем векторам b • • •» ^*)> перпендикулярен и к fe-мерной плоскости (5) (перпенди­ кулярен к векторам а Л , a ). Ясно, что для этого необхо димо и достаточно, чтобы каждый из векторов a , а , . . . , a пред­ ставлял собой линейную комбинацию векторов Ь Ь ..., b Так, в трех­ мерном пространстве прямая т парал­ лельна плоскости N в том и только в том случае, если направляющий вектор а прямой т представляет со­ бой линейную комбинацию опреде­ ляющих плоскость N векторов Ь , Ь (рис. 2). Ясно, что через каждую точ­ ку М пространства Е проходит Рис. 2. единственная k-мерная плоскость, параллельная данной k-мерной пло­ скости (5): уравнение этой плоскости имеет тот же вид (5), где только вектор х следует заменить на х . Если плоскости (5) и (5а) таковы, что плоскость (5) содержит р линейно независимых векторов, представляющих собой линейные комбинации задающих плоскость (5а) векторов b b . . , 6 , но не содержит р+1 таких векторов, то плоскости называются lt 19 2 fc L 2 k и 2У v г 2 п х 0 х u 2J г —параллельными. Ясно, что для того, чтобы плоскости (5) и (5а) были —параллельными, необходимо и достаточно, чтобы макси­ мальное число линейно независимых векторов, которые можно выде­ лить из системы k-\-l векторов a а . . a ; b b , . . . , b было равно k~\-l—p. lt 29 k lt 2 t Две пересекающиеся ^-параллельные плоскости пространства Е п пересекаются, очевидно, по р-мерной плоскости. В трехмерном пространстве любые две плоскости либо являются вполне парал­ лельными (рис. 3, а ) , либо -—параллельными (рис. 3, б). Аналогично этому две плоскости (5) и (5а) называются перпен­ дикулярными (или вполне перпендикулярными), если каждый из определяющих плоскость (5) векторов а а , . . . , a перпендику­ лярен к каждому из определяющих плоскость (5а) векторов b b, b (при этом каждый из принадлежащих плоскости (5) векторов будет перпендикулярен к каждому из принадлежащих плоскости (5а) векторов, и наоборот). Так, например, полностью перпендикулярными являются плоскость (5) и проходящая через и 2 k l9 2 t точку Л1 0 (п—/с)-мерная плоскость