* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

304 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ В этой задаче мы должны рассмотреть функцию / ( а ) , равную п е р и м е т р у треугольника, отсекаемого прямой а от угла АОВ. Нетрудно доказать, что всевозможные прямые, отсекающие от угла АОВ треугольник заданного периметра h, касаются одной окружности, а именно, окружности, касающейся сторон угла в та­ ких точках М, iV, что OM=ON=h/2; точнее говоря, все такие А Рис. 71. Рис. 72. прямые касаются м е н ь ш е й из двух дуг MN этой окружности (рис. 72). В самом деле, как видно из рис. 72, CQ = CM, DQ = DN, и потому OC+OD + CD = OC+OD + CQ+DQ = OC+OD = + CM+DN= OM+ON=JL JL=H. + Таким образом, линиями уровня / рассматриваемой функции / ( а ) служат дуги MN указанного вида. Согласно указанной на стр. 299 общей теореме, касательная а* линии L , отсекающая треугольник наименьшего {наибольшего) периметра, должна в одной и той же точке Q* касаться и линии L , и линии уровня /*, проходящей через точку Q* (рис. 73). Как и в задаче 1, из этого общего утверждения вытекает ряд частных случаев. Укажем их здесь (без подробного обсуждения). Пусть L — точка, лежащая внутри угла АОВ. Проведем через L ббльшую из двух окружностей, касающихся сторон угла АОВ, и пусть а* — касательная к этой окружности, проведенная в точке L (рис. 74). Из всех прямых, проходящих через L , прямая а* отсе­ кает треугольник наименьшего периметра. Пусть, далее, L есть дуга MN, показанная на рис. 71. Из всех прямых, касающихся дуги L , касательная а*, перпендикуляр' ная к биссектрисе угла АОВ, отсекает треугольник наимень­ шего периметра. Отметим в заключение следующий вариант задачи 2, который нам понадобится в дальнейшем. Для произвольной прямой а, отсеЛ