* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ 305 кающей от угла АОВ треугольник COD (ср. рис. 65, а на стр. 301), положим f{a) = OC+OD — CD; требуется из всех прямых, касаю­ щихся заданной линии L, выбрать ту, для которой функция / принимает н а и б о л ь ш е е значение. Линиями уровня этой функ­ ции / с л у ж а т б о л ь ш и е дуги окружностей, касающихся сторон А Рис. 73. 1 Рис. 74. угла АОВ (рис. 7 5 ) ) . Как и в основном варианте задачи 2, каса­ тельная а* линии L, для которой / ( а * ) = т а х , должна в одной и той же точке Q* касаться и линии L, и ланий уровня, про­ ходящей через точку Q*. Если, в частности, L есть дуга yiN, изобра­ женная на рис. 72, то из всех прямых, касающихся дуги L, касательная а*, перпендикулярная к биссектрисе угла АОВ, придает функции/{а) наиболь­ шее значение. Поучительно взглянуть на задачи 1 и 2 6 с точки зрения тех соображений о замене О прямых точками, о которых говорилось Рис. 75. в конце п. 1.7. Условимся характеризо­ вать пересекающие стороны угла АОВ пря­ мые а, например, величинами | и г), обратными длинам отрезков ОС и OD, вы­ секаемых этими прямыми иа сторонах угла (рис. 76, а). При этом множество касательных линии L исходной плоскости л можно представлять себе как множество пар чисел (|, т|), т. е. некоторую линию L плоскости П, точки которой характеризуются (декартовыми) координатами £, rj (рис. 76, б). Так как рассматриваемая в задаче 1 функция / ( а ) = / ( £ , г\) имеет, очевидно, вид [ (£, r\) — iy-z slna, где a = ^ АОВ, то линии уровня функции г /с. v п sina . . sina f(£, rj) на плоскости П записываются уравнениями = л, или ьП~~2/Г * т. е. представляют собой г и п е р б о л ы (разумеется, то обстоятельство, что и на плоскости П и на плоскости я линии уровня функции £ (аГизобра*) Доказательство этого факта весьма близко к проведенному стр. 304 (ср. рис. 72); оно предоставляется читателю. на