* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫПУКЛЫХ ФИГУР 201 функция р (A) определенная на множестве F, обязательно дости­ гает минимума, т. е. найдется такая точка О, что р (О) ^ р (А) для любой точки А фигуры F. Но это и означает, что круг радиуса р(0) с центром в точке О является наименьшим кругом, содержа­ щим фигуру F. Заметим, что описанная окружность выпуклой фигуры един­ ственна. Действительно, если бы существовали д в е описанные окружности фигуры F, то они имели бы один и тот же радиус, а потому (содержащая фигуру F\) «линза», получающаяся в пересе­ чении этих окружностей (рис. 47), могла бы быть заключена в окруж­ ность м е н ь ш е г о радиуса (диаметр которой совпадает с хордой линзы). t Рис. 48. Если Z —остроугольный или прямоугольный треугольник, то его описанной окружностью является окружность, проходящая через все три его вершины (рис. 48, а, б). Если же треугольник F—тупо­ угольный, то наименьшая заключающая его окружность совпадает с окружностью, построенной на большей стороне, как на диаметре (рис. 4 8 , е ) . Таким образом, определенное в этом пункте понятие описанной окружности выпуклой фигуры F не совпадает в случае тупоугольного треугольника с традиционным школьным определе­ нием. Наибольшая окружность, целиком содержащаяся в выпуклой фигуре F, называется вписанной окружностью этой фигуры (рис. 49). Существование вписанной окружности выпуклой фигуры F может быть доказано аналогично тому, как это было выше сделано для описанной окружности. Однако, в противоположность описанной окружности, вписанная окружность выпуклой фигуры может быть н е е д и н с т в е н н о й : для того чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть случай прямоугольника (рис. 50). Заметим, что для треугольника данное здесь определение вписанной окружности сов­ падает с традиционным. Интересно, что для фигур постоянной ширины вписанная и описанная окружности всегда концентричны (рис. 51). Доказа­ тельства этой теоремы мы не приводим. 7