* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

202 ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА Описанная и вписанная сферы пространственного выпуклого тела определяются совершенно аналогично. Диаметр d, ширина Д, радиус R описанной окружности и ра­ диус г вписанной окружности являются наиболее простыми и важ­ ными метрическими характеристиками выпуклой фигуры. Две другие А1 Рис. 49. Рис. 50. Рис. 51. важнейшие характеристики — периметр / и площадь s—мы рас­ смотрим в § 4. Эти метрические характеристики не являются пол­ ностью независимыми; задание одной из них накладывает некото­ рые ограничения на остальные. Так, мы уже отмечали неравенство й?^=Д; очевидно также, что всегда R ^ r (причем равенство здесь достигается только для случая круга). Другие зависимости между величинами й, Д, /?, г, /, s читатель най­ дет в статье «Геометрические задачи на максимум и минимума. Для пространственных выпуклых тел важнейшими характеристиками являются диаметр d, ширина Д, радиус R описанной сферы, радиус г вписанной сферы, а также площадь поверхности s и объем v, рассмат­ риваемые в § 4. Рис. 52. 2.4. Расстояние между выпуклыми фи­ гурами. Пусть F—произвольная фигура и М—не принадлежащая ей точка. Расстоянием от точки М до фигуры F называется н а и м е н ь ш а я ) из длин отрезков, соеди­ няющих точку М с точками фигуры F (рис. 52). Т е о р е м а . Если F—выпуклая фигура и М—не принадлежа¬ щая ей точка, то ближайшая к М точка А фигуры F единст­ венна. Прямая, проходящая через эту точку А и перпендику­ лярная к отрезку МА, является опорной прямой фигуры F. . Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что существуют в фигуре F д в е точки А и А , находящиеся на наименьшем (по сравнению 1 х 2 ) Существование точки А фигуры F, находящейся на наименьшем рас­ стоянии от точки М, легко выводится из свойств непрерывных функций (ср. мелкий шрифт на стр. 197). 1