* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
202
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
Описанная и вписанная сферы пространственного выпуклого тела определяются совершенно аналогично. Диаметр d, ширина Д, радиус R описанной окружности и ра диус г вписанной окружности являются наиболее простыми и важ ными метрическими характеристиками выпуклой фигуры. Две другие
А1
Рис. 49.
Рис. 50.
Рис. 51.
важнейшие характеристики — периметр / и площадь s—мы рас смотрим в § 4. Эти метрические характеристики не являются пол ностью независимыми; задание одной из них накладывает некото рые ограничения на остальные. Так, мы уже отмечали неравенство й?^=Д; очевидно также, что всегда R ^ r (причем равенство здесь достигается только для случая круга). Другие зависимости между величинами й, Д, /?, г, /, s читатель най дет в статье «Геометрические задачи на максимум и минимума. Для пространственных выпуклых тел важнейшими характеристиками являются диаметр d, ширина Д, радиус R описанной сферы, радиус г вписанной сферы, а также площадь поверхности s и объем v, рассмат риваемые в § 4. Рис. 52. 2.4. Расстояние между выпуклыми фи гурами. Пусть F—произвольная фигура и М—не принадлежащая ей точка. Расстоянием от точки М до фигуры F называется н а и м е н ь ш а я ) из длин отрезков, соеди няющих точку М с точками фигуры F (рис. 52). Т е о р е м а . Если F—выпуклая фигура и М—не принадлежа¬ щая ей точка, то ближайшая к М точка А фигуры F единст венна. Прямая, проходящая через эту точку А и перпендику лярная к отрезку МА, является опорной прямой фигуры F. . Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что существуют в фигуре F д в е точки А и А , находящиеся на наименьшем (по сравнению
1 х 2
) Существование точки А фигуры F, находящейся на наименьшем рас стоянии от точки М, легко выводится из свойств непрерывных функций (ср. мелкий шрифт на стр. 197).
1