* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВВЕДЕНИЕ 151 идею предельного перехода, в то время как методы разбиения и дополнения весьма просты и геометрически наглядны. По сути дела, метод исчерпывания близок к определению площади с помощью интеграла (см. стр. 51—52 статьи «Площадь и объем») и потому н е э л е м е н т а р е н . (Рассуждения, связанные с рассмотрением пре­ дельного перехода, бесконечно малых величин и т. п., принято обычно считать «неэлементарными*.) Однако, к счастью, метод исчерпыва­ ния применяется в теории площадей многоугольников лишь один раз: как мы видели, он нужен лишь при выводе формулы прямо­ угольника. Если же формула площади прямоугольника уже уста­ новлена, то площади л ю б ы х многоугольников находятся элемен­ тарно (с помощью методов разбиения и дополнения) ) . Тот факт, что неэлементарный метод исчерпывания используется в теории площадей многоугольников лишь один раз, — да и то при вычислении площади прямоугольника, хорошо известной и понятной для прямо­ угольников с рациональными длинами сторон,—делает малозамет­ ной неэлементарность этого метода. (Тем более, что многие препо­ даватели стараются скорее «проскочить» общий вывод формулы прямоугольника, «смазав» трудности этого вывода!) Просматривая изложенные выше рассуждения, легко убедиться, что аксиома (а), указанная в начале статьи, использовалась в них т о л ь к о о д и н р а з , а именно при нахождении площади произ­ вольного прямоугольника методом исчерпывания. Все же остальные ! ') Метод исчерпывания вновь становится необходимым при вычислении площадей криволинейных фигур, например площади круга и его частей. В самом деле, часть круга К, не заполненная вписанным многоугольником X невелика и становится все меньше и меньше, если наибольшая нз сторон вписанного многоугольника неограни­ ченно уменьшается (рис. 16). Поэтому s(/C)= 1 m s(X ), 1 где предел берется kt ft-*-во k в предположении, что при k оо все стороны многоугольника X неограни­ ченно уменьшаются. Это условие выпол­ няется, например, если Х —пра­ в и л ь н ы й вписанный fe-угольник (нлн 2*-угольник). Но площадь правильного многоугольника равна -^Р/р^ш г д е р — его периметр, а а —апофема. Следова­ тельно, s {К) — Шп -L р а . При k оо ft-^ш 2 величина р приближается к длине окружности 2яг, а величина а —к k к й к к к к к Рис. 16. радиусу г. Таким образом, для площади круга К получаем формулу s[K)= lim — 0 ^ = -!- lim p ft-»O0 2 2 ft-* CO k lim a = - l - 2яг»г=яг*. ft ft-* 00 2