* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

152 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ рассуждения, и в частности применение методов разбиения и до­ полнения, основаны только на аксиомах ф ) — (б). Например, тот факт, что равносоставленные многоугольники имеют одинаковую площадь, вытекает только из двух аксиом: ф) и (у). Проведение рассуждений методом исчерпывания невозможно без применения аксиомы (а), так как в методе исчерпывания существенно использу­ ется положение ( а ' ) , эквивалентное аксиоме (а) (см. стр. 145 и 179). Таким образом, сложность и неэлементарность метода исчерпы­ вания обусловлены именно использованием аксиомы (а). В связи с этим всякое рассуждение, использующее аксиому (а) и в этом смысле эквивалентное методу исчерпывания, мы будем в теории площадей считать н е э л е м е н т а р н ы м . Элементарными же будем считать те рассуждения и методы, которые основаны лишь на аксиомах ф) — (6). В частности, методы разбиения и дополнения элементарны. Такое исключительное положение аксиомы (а) в теории площадей объясняется тем, что в ней постулируется некоторое неравенство для площадей, в то время как остальные аксиомы формулируются в виде равенств. Использование же н е р а в е н с т в для вычисления площадей, для решения вопроса о том, чему р а в н а площадь той или иной фигуры (т. е. использование нера­ венств для установления некоторого равенства), так или иначе связано с предельным переходом, с некоторыми оценками и т. п. и потому неэлементарно. Например, использование метода исчерпывания при вычислении площади прямоугольника можно было бы заменить следующим «оценочным» рассуждением, существенно основанным на применении аксиомы (а) или эквивалентного ей положения ( а ' ) . Обозначим длины отрезков ОМ и ON на рис. 6 через а и р . Тогда мы имеем: S OMPN^ S OACB < OM'P'N'y S ИЛИ « Р < * о д с в < ( « + * ) № + *>• (*) Но мы имеем а — е е ^ а , а + е ^ а - f - E (ибо 0 ^ а — а ^ е, см. рис. 6) и аналогично b — е ^ Р , Р + е ^ ^ + е. Следовательно, не­ равенства (*) могут быть теперь усилены следующим образом: (а — е) (b — е) ^ s ^ ( + ) (° + ) - Раскрывая скобки и вычи­ тая из всех частей неравенств произведение ab, получаем: — е {а + b — е) ^ s — ab ^ е (а + b + е). Эти неравенства показы­ вают, что число s — ab не может быть отличным от нуля (ибо в качестве е можно взять к а к у г о д н о м а л о е рациональ­ ное положительное число); таким образом s — ab. Это «оценочное» рассуждение формально не содержит никакого предельного перехода, но по существу столь же неэлементарно, как и метод исчерпывания. Ведь заключительная часть этого рас­ суждения предполагает, в сущности, ясное понимание того факта, что никакое отличное от нуля ч и с л о не является бесконечно малой а е е 0ACB 0ACB 0ACB 0 A C B