* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВВЕДЕНИЕ 145 Тогда рассматриваемый прямоугольник можно разбить на равные квадратики со стороной 1/л, причем вдоль одной стороны прямо­ угольника укладывается р таких квадратиков, а вдоль другой стороны — q (рис. 5, б). Всего, таким образом, в прямоугольнике укладывается pq квадратиков, а так как площадь каждого квадра­ тика равна 1/л , то из ф ) следует, что площадь прямоугольника 1 Р Я t равна pq -=г = — • — = ab. 2 Итак, площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон в случае, если длины сторон являются р а ц и о н а л ь н ы м и числами. Следующий шаг теперь состоит в том, чтобы установить эту теорему для прямоугольни­ ков с п р о и з в о л ь н ы м и дли­ нами сторон. Рассуждение, кото­ рое для этого используется, мож­ но изложить следующим образом. Рассмотрим прямоугольник ОАСВ, длины сторон которого а и b являются произвольными (воз­ можно, иррациональными) числа­ ми. Возьмем произвольное рацио­ нальное положительное число е (например, е = 1/10или в = 1/100, Рис. 6. или е = 1 / 1 0 0 0 ) и выберем на прямой OA такие точки М и М\ что отрезок ОМ имеет рациональ­ ную длину, отрезок ММ' имеет длину е и точка А расположена на отрезке ММ'. Совершенно так же выберем точки N N' на прямой ОВ (рис. 6). Наконец, восставим в точках Ж, М\ N N' перпенди­ куляры к сторонам OA и ОВ, Площадь получившейся фигуры MM'P'N'NPM, которую можно разбить на два прямоугольника, равна в-N'P'-\-B-MP—B{N'P'-f+ MP) = B(NP+MP+B). Так как Л Г Я < а , МР<,Ь то площадь фигуры MM'P'N'NPM не превосходит е ( а + £ + е). Обозначим теперь исходный прямоугольник ОАСВ через F. Далее проведем построение, указанное на рис. 6, при е = 1 / 1 0 и обозначим прямоугольник OMPN через Х . Тогда часть фигуры F не заполненная фигурой Х (т. е. заштрихованная на рис. 6 фигура), имеет п о л о ж и т е л ь н у ю площадь, н е п р е в о с х о д я щ у ю ) площади фигуры MM'P'N'NPM, т. е. не превосходящую T T Л Х 9 Х 1 ^ a + b + -j-^ . Проведем теперь то же построение при обозначим через Х . 2 и получающийся прямоугольник OMPN Тогда *) Здесь мы (в первый и последний раз!) используем положение (а) (или (а')).