* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

146 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ часть фигуры F, не заполненная фигурой Х (заштрихованная фигура), имеет положительную площадь, не превосходящую 2 Затем мы можем провести это же построение при е = 1/1000, обозначив получающийся прямоугольник ОАСВ через Х , и т. д. В результате мы получаем такую последовательность фигур Х , Х , Х , . . . , расположенных в прямоугольнике F, что площадь той части прямоугольника F, которая не заполнена фигурой X , стремится к нулю при неограниченном увеличении числа k. Иначе говоря, площадь s(F) прямоугольника F и площадь s{X ) прямоугольника Х связаны (в силу (Р)) соотношением s (F) = ^s(X ) + s , где величина s (площадь заштрихованной фигуры) стремится к нулю при увеличении к. Таким образом, s (F) = lims(X ) 9 г 2 9 k k к k k k k 9 k-> <х> т. е. s(F) = k-> со $ ) \\m(a где a и Р А — д л и н ы сторон прямоугольника А) Но при к -> оо мы имеем <х -*- а Р * - * - £ ; следовательно, Н т ( а р ) = k k 9 k к 9 & л = 1ипа Н т р — ab, т. е. s{F) = ab, что и требовалось доказать. А д к->а> ft-*-со Метод, который использован в этом доказательстве, — он носит название метода исчерпывания, — в одном из своих вариантов может быть сформулирован следующим образом: если Х , Х Х , ...— такая последовательность фигур, расположенных в одной и той же фигуре F, что часть фигуры F, не заполненная фигурой X , имеет площадь, неограниченно уменьшающуюся при k ~+ оо, то lim s (X ) = s (F). (Иногда этот метод называют также методом х 2У в k k k-*a> пределов.) 1.3. Методы разбиения и дополнения. Обратимся к дальнейшему построению теории площадей в школьном курсе. После того как установлена формула для вычисления площади прямоугольника, дальнейшее вычисление площадей проводится при помощи весьма простого приема, называемого методом разложения и основываю­ щегося на свойствах (Р) и (у). Рассмотрим для уяснения этого метода две фигуры, изображенные на рис. 7 (все отрезки, составляющие фигуру креста, равны между собой; сторона квадрата равна отрезку А В). Пунктирные линии, проведенные на рисунке, разбивают эти фигуры на одинаковое число равных частей (равные части обеих фигур отмечены одинаковыми цифрами). Этот факт выражают следующими словами: фигуры, изображенные на рис. 7, равносоставлены. Иначе говоря, две фигуры называются равносо став лен­ ными > если, определенным образом разрезав одну из них на конечное число частей, можно (располагая эти части иначе) составить из них вторую фигуру. Из свойств (Р) и (у) непосредственно следует, что две равносоставленные фигуры равновелики, т. е. имеют одинаковую пло-