* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

90 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ранга п, то примыкающий к нему справа отрезок ранга л имеет с отрезком АВ общие точки, но не содержится целиком в АВ. Аналогичное положение вещей имеет место для самого «левого» из содержащихся в АВ отрезков ранга л. Следовательно, а' —а п п = 2. (1) Положим /„ = « „ - 1 0 - " , п п я = КГ". Числа 1 и /„ (так же как и а , а ) определены для любого л = 1 , 2, 3, Легко видеть, что имеют место соотношения 1 s^/ ^ / ^ . . . г a 3 Г г » г ё 3 и 1 ^ 1 ^ / ^ . . . Действительно, всякий, отрезок ранга л раз­ бит на 10 отрезков ранга л + 1. Если исходный отрезок (ранга л) содержится в АВ, то каждый из этих десяти отрезков ранга л + 1 содержится в АВ; если хотя бы один из десяти отрезков ранга л + 1 имеет общую точку с отрезком АВ, то и исходный отрезок ранга л имеет общую точку с отрезком АВ. Следова­ тельно, а ^10а , а п = £ £ 1 0 а , и потому / ^/„, Из очевидного соотношения / „ < / (см. (1)) мы находим, что монотонная последовательность А, / , ограничена: l • OD Из соотношения (1) мы теперь получаем: / „ — / = 2 - 1 0 ~ " , и следо­ вательно, l i m / „ = lim/„. (2) П —>• CD П - > СО Получаемое таким образом число (2) мы обозначим через /(АВ) и будем называть длиной отрезка АВ. Покажем, что построенная функция I удовлетворяет всем условиям (а)—(6). Выполнение условия (а) очевидно (причем ясно, что 1(АВ)>0 для любого отрезка АВ). Условие ф ) достаточно проверить для случая отрезка АС, составленного из двух отрезков А В, ВС. Будем у чисел 1 и а ставить сверху индексы, указывающие, к какому отрезку они относятся; например, / л , / п и т. п. Если точка В является общим концом двух смежных отрезков ранга л, то, как легко видеть (рис. 1, а), а} = а + а , в противном же случае (рис. 1,6) а = a„ + a + l . Таким образом, в любом слуп п Л В ) В С ) ЛС) Л В ) В С ) п п п А С ) / B , B C ) л n