* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ линий 89 § 1. Длины ломаных линий 1.1. Основные свойства длины. Как и понятие площади, по­ нятие длины постоянно встречается в нашей практической дея­ тельности, но является весьма сложно определяемым математическим понятием. Наиболее просто определяется длина прямолинейного отрезка или ломаной линии. В этом случае определение длины совершенно аналогично определению площади, но отличается от него значительно большей простотой. Свойства, на которых в этом случае основывается определение длины, в точности повторяют условия ( а ) — ( б ) , определяющие площадь плоской фигуры (см. стр. 7—8 настоящей книги ЭЭМ). Эти свойства следующие: (а) Длина линии является неотрицательным числом. (Р) Длина линии, составленной из конечного числа линий, последовательно примыкающих друг к другу, равна сумме длин составляющих линий. (у) Равные линии имеют равные длины. (б) Длина единичного отрезка равна единице. (Как и в предыдущей статье, мы предполагаем, что единич­ ный отрезок раз и навсегда фиксирован.) В следующем пункте мы покажем, что свойства (а) — (6) однозначно определяют длины от­ резков (а также и ломаных, см. п. 1.3). Однако для определения понятия длины на более широком классе «линий» (а именно, на классе с п р я м л я е м ы х простых д у г , см. п. 3.2) этих свойств, оказывается, уже недостаточно, и к ним приходится при­ соединить еще одно свойство («полунепрерывность»), которое мы рассмотрим ниже, в п. 1.6. 1.2. Длина отрезка. В этом пункте мы покажем, что условия (а)—(б) однозначно определяют длину отрезка. Более точно: существует одна и только одна функция I (называемая длиной), определенная на классе всех прямолинейных отрезков и удовлетворяющая условиям (а)—(б). Д о к а з а т е л ь с т в о с у щ е с т в о в а н и я . Возьмем прямую р , на которой расположен единичный отрезок,— для наглядности будем ее считать '/горизонтальной»,— и обозначим через О один из концов единичного отрезка. Далее, разбив единичный отрезок на 10" равных частей и взяв одну из этих частей, будем после­ довательно откладывать вправо и влево от точки О отрезки, рав­ ные этой части. В результате вся прямая р будет разбита на равные отрезки, которые мы назовем отрезками ранга п. Пусть теперь АВ—произвольный отрезок, расположенный на прямой р . Обозначим через а число отрезков ранга п, целиком содержа­ щихся в отрезке АВ, а через а —число отрезков ранга л, имею­ щих с отрезком АВ хотя бы одну общую точку. Ясно, что если мы возьмем самый «правый» из содержащихся в АВ отрезков п п