* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ С) линий B , B C ) C l 91 чае справедливы неравенства с£? — 1 < a ^ - f a i < a ^ , из которых мы находим: 1 — \ 0 ' ^ п + 1 < 1п . Переходя в этих неравенствах к пределу при л — * о о , мы получаем 1(АС)= =1(АВ) + 1(ВС), что и доказывает свойство (Р). Установим справедливость свойства (у). Пусть АВ—произ­ вольный отрезок, расположенный на прямой р. Сдвигая оба конца этого отрезка вправо (или оба влево) на 10 -ю часть единичного отрезка, мы перенесем отрезок АВ в новое положение, но числа а и &п при этом, очевидно, не изменятся. Следовательно, если АВ и CD—два равных отрезка, расположенных на прямой р { АС) п п В ) { ВС) п АС) л 4 В ) В) л 9 J Т 1 1 S ™ ' 1 1 с 1 Рис. 1. то мы можем, не меняя чисел а иa , переместить эти от­ резки в такие положения, что точки А и С будут расположены н а о д н о м отрезке ранга л. Из равенства отрезков АВ и CD вытекает, что AC=BD (рис. 2), и потому отрезок BD меньше, чем 10"-я часть единичного отрезка. Следовательно, точки В и D расположены либо на одном и том же отрезке ранга л, либо же на соседних отрезках ранга л, и потому числа а ' и а от­ личаются друг От друга не более чем на одну единицу. Таким образом, | / — /л | ^ 10"", откуда, переходя к пределу, мы и получаем требуемое соотношение l(AB) = l(CD). Свойство (б) вытекает из справедливых для единичного от­ резка соотношений a = 1 0 " , / = 1 . Итак, функция /, определенная для расположенных на пря­ мой р отрезков, обладает свойствами (а)—(б). Если теперь АВ— произвольный отрезок на плос­ кости или в пространстве и А'В'— равный ему отрезок, расАС ВЬ положенный на прямой р , то мы положим 1(АВ) = 1(А'В'). В реРис. 2. зультате длина / оказывается определенной для любого отрезка АВ, причем свойства (а)—(б), как легко понять, выполняются. Таким образом, теорема сущест­ вования полностью доказана. Д о к а з а т е л ь с т в о е д и н с т в е н н о с т и . Пусть К—какаялибо функция, заданная на множестве всех прямолинейных от­ резков и обладающая свойствами (а)—(б). Покажем, что она n {АВ С £ ) ) л Л В ) С/>) Л n п {АВ) C £ > )