* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАЗВЕРТКА МНОГОГРАННИКА. ТЕОРЕМА КОШИ 419 3.4. Некоторые обобщения на случай кривых поверхностей. Вопрос о существовании и единственности многогранника, имеющего данную раз­ вертку, связан с широким кругом математических вопросов, составляющих содержание так называемой внутренней геометрии поверхностей. Чтобы разобраться в постановке этих вопросов, потребуются некоторые дополни­ тельные пояснения. Предположим, что нам дан выпуклый многогранник М и что мы имеем возможность измерять геометрические величины не вообще в пространстве, а только на поверхности этого многогранника; в таком положении оказа­ лись бы, например, «двумерные существа», живущие на поверхности дан¬ ного многогранника и ничего не знающие о трехмерном пространстве, в котором он расположен. Такие существа моглн бы измерять длины лнний, расположенных на поверхности многогранника, а также углы между ними *) (измерение которых может быть сведено, как легко понять, к изме­ рению длин), но такие величины, как, например, углы между гранями, были бы недоступны их измерению (по крайней мере непосредственному). Запас геометрических сведений, которые могли бы получить эти двумерные существа о своем многограннике, и составляет содержание в н у т р е н н е й г е о м е т р и и этого многогранника. В этот запас сведений входило бы, например, понятие о в е р ш и н е многогранника: вымышленные существа могли бы заметить, что в вершинах, в отличие от других точек поверхно­ сти многогранника, полный угол меньше чем 360°. Два различных (не равных между собой) многогранника могут иметь одну и ту же внутреннюю геометрию; примерами могут служить хотя бы многогранники, изображенные на рис. 38. Это будет иметь место в том случае, когда многогранники и з о м е т р и ч н ы . Два многогранника назы­ ваются изометричными, если между точками их поверхностей можно уста­ новить взаимно однозначное соответствие так, что каждой линии на поверх­ ности одного многогранника отвечает на поверхности другого линия такой же длины; в этом случае говорят также, что два многогранника имеют одну и ту же внутреннюю метрику. Упоминавшиеся выше двумерные суще­ ства, живущие на поверхностях таких двух многогранников, не могли бы заметить между ними никакой разницы. Ясно, что задание развертки многогранника однозначно определяет его внутреннюю метрику: на развертке многогранника можно непосредственно выполнять те же измерения, что и на самой его поверхности. Те преобра­ зования развертки, которые были указаны в конце п. 3.1 в связи с теоре­ мой А. Д. Александрова (объединение смежных граней и, наоборот, разбиение одной грани иа несколько), очевидно, преобра­ зуют данную развертку в изометрическую, т. е. сохраняют ее внутреннюю метрику. Таким обра­ зом, теорема А. Д. Александрова утверждает в действительности существование многогран­ ника не с данной разверткой, а с данной внут- ') Следует иметь в виду, что величина угла между двумя линиями, измеренная на поверхности многогранника, вообще говоря, отлична от величины того же угла, измеренной по обычным правилам измерения углов в про­ странстве. Так, например, изображенный на рис. 39 угол между прямыми а и 6, измеренный на поверхности данного многогранника, следует считать равным сумме углов о и р, изображенных больше плоского угла между прямыми а и Ь. 27* там же; эта сумма