* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

420 многоугольники И МНОГОГРАННИКИ ренней метрикой. Далее, теорема Коши показывает, что в классе выпуклых многогранников каждый многогранник о д н о з н а ч н о определяется своей внутренней метрикой. Понятие изометричности (а значит, и внутренней метрики) без всяких изменений может быть перенесено на произвольные поверхности (не являю­ щиеся многогранниками), и по отношению к ним возникают те же вопросы существования и единственности. Эти вопросы разрабатывались многими геометрами довольно длительное время и получили окончательное реше­ ние (по отношению к выпуклым поверхностям) лишь в сравнительно недав­ нее время. Вопрос о с у щ е с т в о в а н и и выпуклой поверхности с заданной внутренней метрикой был решен А. Д . Александровым в 1948 г.: им было доказано, что требуемая выпуклая поверхность существует тогда и только тогда, когда данная метрика удовлетворяет двум условиям, которые анало­ гичны условиям 2) и 4), сформулированным в п. 3.1 (стр. 411) для много­ гранников ') Интересно отметить, что для доказательства этой своей тео­ ремы А. Д . Александров использует теорему о существовании выпуклого многогранника с данной разверткой: данную метрику он заменяет близки­ ми к ней развертками многогранников и, построив эти многогранники, переходит от них к искомой поверхности. Вопрос о единственности выпуклой поверхности с данной внутренней метрикой был окончательно р^шен харьковским геометром А. В. П о г о р е ­ л о е ым в 1949 г Им была доказана следующая теорема, существенно обоб­ щающая теорему Коши: всякие две изометричные выпуклые поверхности равны между собой. § 4. Правильные многоугольники и многогранники и их обобщения 4.1. Топологически правильные многогранники. Многогранник называется топологически правильным, если все его грани имеют одинаковое число вершин и во всех вершинах сходится одинаковое число граней*). Ясно, что свойство многогранника быть топологически правильным есть его топологическое свойство, так что многогранник, изоморфный топологически правильному многограннику, сам является топологически правильным. Найдем все комбинаторные типы тополо­ гически правильных многогранников н у л е в о г о р о д а . Пусть B Г и Р—числа вершин, граней и ребер многогранника. Пусть каждая грань многогранника имеет п вершин и в каждой вер­ шине сходятся 5 граней. Так как каждая грань имеет п ребер, то все Г граней будут иметь пГ ребер; но при этом каждое ребро многогранника учитывается дважды (потому что оно принадлежит двум граням). Следовательно, лГ=2Р. (12) t ) Условие 2), требующее, чтобы развертка имела эйлерову харак­ теристику 2, для поверхностей формулируется как условие гомеоморфности .сфере, а условие 4) — как условие положительности кривизны *) Вводить аналогичное понятие для многоугольников не имеет смысла: так как каждая сторона многоугольника имеет две вершины и к каждой вершине примыкают две стороны, то л ю б о й многоугольник следовало бы •считать топологически правильным. 1