* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ТРОЙНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 353 5.2. Векторное произведение и его связь с тройным произве дением. Прежде чем идти дальше в исследовании свойств тройного произведений (а, Ь, с), обсудим несколько более тщательно его строение. До сих пор произведение трех множителей (например, abc где я , с—три числа, или u ( а , Ь), где а—число, а а и Ь—век­ торы) встречалось у нас лишь как п о в т о р н о е произведение — сперва перемножались два из наших грех множителей, а затем ре­ зультат умножался на третий множитель. Естественно задать себе вопрос о том, нельзя ли л1 и тройное произведение трех векторов иредставить как повторное? Выше мы имели лишь один вид «произведения» двух векторов простран­ ства—скалярное произве­ дение. Но скалярное про­ изведение сопоставляет с двумя векторами число; Рис. 76. если э т о число затем умно­ жить на вектор, являющийся третьим сомножителем, то мы получим неко­ торый в е к т о р , а между тем окончательный результат тройного про­ изведения должен быть ч и с л о м . Иначе обстояло бы дело, если бы в результате перемножения двух первых сомножителей мы полу­ чили бы не число (скаляр), а вектор, — тогда, умножив этот вектор на последний сомножитель скалярно, мы могли бы получить число, как нам и требуется. Итак, если мы хотим представить тройное про­ изведение векторов в виде повторного произведения, то нам необхо­ димо использовать не только скалярное произведение векторов, но еще и некоторое новое, «векторное» произведение, которое в резуль­ тате «умножения» двух векторов дает снова вектор. Постараемся сообразить, как может выглядеть такое «векторное произведение». Объем параллелепипеда OADBCA D B построенного на векторах ОА = а, ОВ=Ь и ОС=с равен произведению площади его основания OADB на высоту. Но высота параллелепипеда h есть не что иное, как проекция вектора 0С = с на вектор п, перпендику­ лярный к плоскости основания (рис. 76). Таким образом, по абсо­ лютной величине произведение (а, 6, с) равно площади построенного на векторах а и Ь параллелограмма OADB умноженной на величину проекции вектора с на вектор я ; знак же произведения [а, Ь с) будет положительным или отрицательным в зависимости от того, в какую сторону от плоскости OADB направлен вектор с. Пусть площадь параллелограмма OADB равна а; в таком случае мы имеем . . . . Re. b, ci = a-\np с\. x с x x v л y 9 23 Энциклопедия, кн. 4