* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

352 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ всюду будем обозначать ее через (а, Ь, с). Таким образом, здесь мы впервые встречаемся с весьма своеобразным «произведением»— в нем фигурируют не два «сомножителя», как обычно, а обязательно три (векторных) «сомножителя» а, Ь и с. Несмотря на это обстоя­ тельство, за величиной V(a Ь с) = (а, Ь с) оказывается удобным оставить название тройное п р о и з в е д е н и е — и не только в силу близости этой величины к косому произведению векторов плоскости, употребление для которого названия «произведение» мы уже можем считать привычным, но в первую очередь в силу того, что величина (а, Ь, с) обладает, как мы увидим несколько ниже, целым рядом свойств, родственных свойствам обычного произведения чисел (а также свойствам скалярного и косого произведений векторов). Нам будет удобнее несколько отложить вывод большинства свойств тройного произведения. Здесь мы только отметим, что в силу определения, тройное произведение (ненулевых) векторов a, b и с равно нулю в том и только в том случае, если все векторы принадлежат одной плоскости (аналогично тому как косое произ­ ведение двух векторов плоскости равно нулю в том и только в том случае, если эти векторы принадлежат одной прямой). Отметим еще, что тройное произведение антикоммутативно. т. е. меняет знак при перестановке любых двух сомножителей: % л л (а, 6, с) = — (Ь Л а, с) = — (а, с, Ь) = — (с, Ъ % а). Действительно, по абсолютной величине все выписанные тройные произведения равны объему одного и того же параллелепипеда и поэтому одинаковы. Далее (а, Ь с) = — (6, а, с), ибо если враще­ ние от вектора а к вектору Ь наблюдается из конца вектора с про­ исходящим против часовой стрелки, то вращение от вектора b к вектору а наблюдается из конца с происходящим по часовой стрелке и наоборот. Менее очевидно соотношение (a, b с) = — (а, с, Ь); однако, чтобы его доказать, достаточно проверить, что вращение от вектора а к вектору с наблюдается из конца вектора b происхо­ дящим по или против часовой стрелки в зависимости от того, имеем ли мы V(a b, с) > 0 (черт. 75, а) или l/(a, Ь, с) < 0 (черт. 75, б). Точно так же проверяется и соотношение (а, Ь> с) = — (с, 6, а). Тройные произведения (6, с, а) п (с, а, Ь) могут быть получены из произведении (а, Ь с) путем д в у к р а т н о й перемены местами двух «сомножителей»: сначала меняем местами а и 6, а затем либо с п а, либо с и Ь. Отсюда следует, что (6, с, a) = (a, 6, с) и (с, а, £>) = (а, Ь, с). Таким образом, мы приходим к следующему соотношению, которое является наиболее полным описанием свойства антикоммутативности — тройного произведения: л t 4 1 (a, Ь, с) = (6, с, а) = (с, а, 6) = — (Ь, а, с) = — (а, с, Ь) = —(с, b t а). (81)